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二次曲线夹域薄板形心：用积分与向量构造

二次曲线夹域薄板形心：用积分与向量构造
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2021-03-20 23:52
向量微积分积分几何作图
该范例演示位于两条竖直边 x=a 与 x=b 之间、由一段二次曲线围成的薄板，其质心（形心）在平面上的位置如何被计算与可视化。核心数学概念包括：连续体质心的定义、由面积分得到的形心坐标（涉及分母面积与分子一阶矩）、以及将图形几何关系转化为积分表达式。作图要点：从构造摘要可见使用了 Expand、Integral 将所需的面积与矩与积分计算过程展开并求出；用 FractionText 生成用于展示的分式结果；用 Root 处理解析方程中的根；用 Line 与 OrthogonalLine 构建坐标方向与垂线参考；用 Segment、Angle 与 Vector 表示边界段、角度关系以及从原点/参考点指向质心的位移向量；同时配合 Rotate 等变换与多段几何对象（如由线段和向量派生的辅助图形）完成动态标注。适合高中到大学初级课程，面向学习积分求质心、解析几何与可视化建模的课堂演示或作业练习。

GeoGebra 命令及参数

  1. Expand((x * f(x))) → p
  2. Root(f, 0.1, 20) → A_1
  3. Integral(f, n, d) → e
  4. Integral(f, x) → g
  5. FractionText(e) → text5
  6. FractionText(h) → text6
  7. Integral(p, x) → q
  8. Integral(p, n, d) → i
  9. FractionText(i) → text8
  10. FractionText(k) → text10
  11. Expand((f(x))^(2)) → r
  12. Integral(r, x) → s
  13. Integral(r, n, d) → l
  14. FractionText(l) → text11
  15. Root(f, -20) → D
  16. Max(f, -20, 20) → E
  17. Vector(B, G) → u
  18. Rotate(G, α + 90°, B) → G'
  19. Vector(B, G') → v
  20. Rotate(A, α + 90°, B) → A'
  21. Segment(B, A') → t
  22. Segment(G', B) → f_1
  23. Angle(G', B, A') → β
  24. Angle(A, B, G) → γ
  25. Rotate(f, α + 90°, B) → f_2
  26. Line(B, A') → g_1
  27. OrthogonalLine(B, t) → h_1
  28. Segment(G, C) → i_1
  29. Angle(B, C, G) → δ

AI 绘图提示语参考

绘制一个二次曲线y=f(x)在x=a到x=b之间的区域，计算并显示该区域的质心。首先绘制二次曲线，然后画出x=a和x=b的垂直线，接着计算该区域的面积和第一矩，利用这些值计算质心的坐标。最后，画出质心与边界点的向量，并旋转该向量以显示其方向。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。