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平面图形面积：用几何变换构造与分解

平面图形面积：用几何变换构造与分解
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2020-08-15 17:56
多边形向量立体几何变换几何作图
本范例通过几何变换与作图分解，演示如何比较或计算不同“纯形/平面图形”的面积。核心数学概念包括多边形面积、边与中点的几何关系、以及围绕点的旋转、镜像、平移与缩放（同构/相似变换）对面积的影响。构造上使用了 GeoGebra 的基本几何工具生成与关联点：Point、Line、Segment、Intersect（求交）、Midpoint（求中点）与 Polygon（多边形）；再用 OrthogonalLine（作垂线）、Vector（向量表示平移方向）、Rotate（旋转）、Translate（平移）、Mirror（关于直线镜像）、Dilate（以点为中心缩放）把图形复制到新位置以实现面积对应与对比。对象包括大量由构造得到的关键点与派生图形（如 A、B、C、D、E/F/G、以及对应的 E'、I'、t1'、i'、e' 等）。适合中学到大学基础几何教学，用于面积不变量、变换理解与几何作图训练，也可作为竞赛几何的可视化辅助。

GeoGebra 命令及参数

  1. Segment(A, B) → f
  2. OrthogonalLine(A, f) → g
  3. OrthogonalLine(B, f) → h
  4. Point(h) → C
  5. Line(C, f) → i
  6. Intersect(g, i) → D
  7. Midpoint(E, A) → F
  8. Midpoint(B, E) → G
  9. OrthogonalLine(E, f) → j
  10. Intersect(f, j) → H
  11. Line(F, f) → k
  12. Intersect(j, k) → I
  13. Polygon(E, F, I) → t1, i_1, e, f_1
  14. Polygon(I, G, E) → t2, e_1, i_2, g_1
  15. Polygon(F, A, B, G) → q1, f_2, a, b, g_2
  16. Rotate(E, (π * c / 2), F) → E'
  17. Rotate(F, (π * c / 2), F) → F'
  18. Rotate(I, (π * c / 2), F) → I'
  19. Polygon(E', F', I') → t1', i', e', f'
  20. Rotate(I, ((-π) * c / 2), G) → I'_1
  21. Rotate(G, ((-π) * c / 2), G) → G'
  22. Rotate(E, ((-π) * c / 2), G) → E'_1
  23. Polygon(I'_1, G', E'_1) → t2', e'_1, i'_1, g'
  24. Segment(D, C) → l
  25. Point(f) → J
  26. Segment(C, J) → m
  27. Line(A, m) → n
  28. Intersect(l, n) → K
  29. OrthogonalLine(K, f) → p
  30. Intersect(p, f) → L
  31. Polygon(K, A, L) → t3, l_1, k_1, a_1
  32. Polygon(L, J, C, K) → q2, l_2, j_1, c_1, k_2
  33. Vector(A, V) → u
  34. Translate(K, u) → K'
  35. Translate(A, u) → A'
  36. Translate(L, u) → L'
  37. Polygon(K', A', L') → t3', l', k', a'
  38. Point(l) → M
  39. Point(l) → N
  40. Midpoint(M, A) → O
  41. Midpoint(N, B) → P
  42. OrthogonalLine(P, f) → q
  43. OrthogonalLine(O, f) → r
  44. Intersect(r, f) → Q
  45. Intersect(q, f) → R
  46. Polygon(M, O, Q, R, P, N) → poly1, m_1, o_1, q_1, r_1, p_1, n_1
  47. Polygon(O, A, Q) → t4, q_2, o_2, a_2
  48. Polygon(R, B, P) → t5, p_2, r_2, b_1
  49. Rotate(R, (π * c / 2), P) → R'
  50. Rotate(B, (π * c / 2), P) → B'
  51. Rotate(P, (π * c / 2), P) → P'
  52. Polygon(R', B', P') → t5', p', r', b'
  53. Rotate(O, ((-π) * c / 2), O) → O'
  54. Rotate(A, ((-π) * c / 2), O) → A'_1
  55. Rotate(Q, ((-π) * c / 2), O) → Q'
  56. Polygon(O', A'_1, Q') → t4', q', o', a'_1
  57. Mirror(A, D) → A'_2
  58. Mirror(B, C) → B'_1
  59. Midpoint(A'_2, B'_1) → S
  60. Midpoint(A, B) → T
  61. Midpoint(D, C) → U
  62. Polygon(S, D, U) → t6, u_1, s_1, d_1
  63. Polygon(S, U, C) → t7, c_2, s_2, u_2
  64. Polygon(D, T, U) → t8, u_3, d_2, t
  65. Polygon(T, C, U) → t9, u_4, t_1, c_3
  66. Rotate(S, ((π * 3) * c / 4), D) → S'
  67. Rotate(D, ((π * 3) * c / 4), D) → D'
  68. Rotate(U, ((π * 3) * c / 4), D) → U'
  69. Rotate(S, (((-π) * 3) * c / 4), C) → S'_1
  70. Rotate(U, (((-π) * 3) * c / 4), C) → U'_1
  71. Rotate(C, (((-π) * 3) * c / 4), C) → C'
  72. Midpoint(A'_2, D) → W
  73. Midpoint(B'_1, C) → Z
  74. Midpoint(T, Z) → A_1
  75. Midpoint(T, W) → B_1
  76. Midpoint(S, W) → C_1
  77. Midpoint(S, Z) → D_1
  78. Segment(S, T) → h_1
  79. Segment(C_1, D_1) → h_2
  80. Segment(B_1, A_1) → j_2
  81. Intersect(j_2, h_1) → E_1
  82. Intersect(h_1, h_2) → F_1
  83. Polygon(C_1, F_1, S) → t10, s_3, m_2, n_2
  84. Polygon(F_1, D_1, S) → t11, s_4, t_2, b_2
  85. Polygon(T, A_1, E_1) → t12, e_2, t_3, f_3
  86. Polygon(E_1, B_1, T) → t13, t_4, g_3, h_3
  87. Segment(W, Z) → i_3
  88. Intersect(i_3, h_1) → G_1
  89. Polygon(F_1, G_1, Z, D_1) → q3, j_3, k_3, z_1, l_3
  90. Polygon(C_1, W, G_1, F_1) → q4, m_3, w, n_3, p_3
  91. Polygon(E_1, A_1, Z, G_1) → q5, q_3, r_3, z_2, a_3
  92. Polygon(B_1, E_1, G_1, W) → q6, b_3, d_3, e_3, w_1
  93. Rotate(C_1, (π * c / 2), C_1) → H_1
  94. Rotate(F_1, (π * c / 2), C_1) → I_1
  95. Rotate(S, (π * c / 2), C_1) → S'_2
  96. Polygon(H_1, I_1, S'_2) → t10', s'_2, f_4, g_4
  97. Rotate(F_1, ((-π) * c / 2), D_1) → J_1
  98. Rotate(D_1, ((-π) * c / 2), D_1) → K_1
  99. Rotate(S, ((-π) * c / 2), D_1) → S'_3
  100. Polygon(J_1, K_1, S'_3) → t11', s'_3, h_4, i_4
  101. Rotate(T, (π * c / 2), A_1) → T'
  102. Rotate(A_1, (π * c / 2), A_1) → L_1
  103. Rotate(E_1, (π * c / 2), A_1) → M_1
  104. Polygon(T', L_1, M_1) → t12', j_4, t', k_4
  105. Rotate(E_1, ((-π) * c / 2), B_1) → N_1
  106. Rotate(B_1, ((-π) * c / 2), B_1) → O_1
  107. Rotate(T, ((-π) * c / 2), B_1) → T'_1
  108. Polygon(N_1, O_1, T'_1) → t13', t'_1, l_4, m_4
  109. Midpoint(D, S) → R_1
  110. Midpoint(T, C) → S_1
  111. Midpoint(S, C) → T_1
  112. Midpoint(D, T) → U_1
  113. Dilate(R_1, If[0 < c ≤ 1, 1 - c, 0], S_1) → V_1
  114. Vector(R_1, V_1) → v_2
  115. Dilate(T_1, If[1 < c ≤ 2, 2 - c, 0], U_1) → W_1
  116. Vector(T_1, W_1) → w_2
  117. Translate(S, v_2) → S'_4
  118. Translate(D, v_2) → D'_1
  119. Translate(U, v_2) → U'_2
  120. Polygon(S'_4, D'_1, U'_2) → t6', u'_2, s'_4, d'_1
  121. Translate(S, w_2) → S'_5
  122. Translate(U, w_2) → U'_3
  123. Translate(C, w_2) → C'_1
  124. Polygon(S'_5, U'_3, C'_1) → t7', c'_1, s'_5, u'_3

AI 绘图提示语参考

请绘制一个由多个平面多边形组成的图形，展示通过旋转、反射、翻译和缩放等几何变换对面积的影响。图形中包含原始多边形及其变换后的副本，这些副本通过旋转和翻译放置在特定位置，以体现面积对应关系。关键对象包括点、线段和多边形，它们通过相交、垂直线和中点构造连接。图形应清晰展示变换后的多边形与原始多边形之间的对应关系，适合用于几何教学和面积推理。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。