积极 AI Logo 积极 AI

龟形瓷砖：埃舍尔风格的平面密铺构造

龟形瓷砖：埃舍尔风格的平面密铺构造
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2016-06-29 03:19
多边形变换几何作图轨迹函数图像
该范例演示了如何利用多边形旋转、镜像与平移，构造出类似克里斯托弗·丹尼尔森设计的龟形瓷砖，并实现埃舍尔风格的平面密铺。核心数学概念包括平面密铺（tessellation）、多边形变换（旋转、镜像、平移）、对称性以及几何图形的无缝拼接。作图要点：从构造摘要可见，使用了GeoGebra的Polygon命令创建基础多边形，PointIn用于选取内部点，Rotate和Mirror实现旋转与镜像变换，Line和PolyLine辅助构建边界，并通过多个对象（如B, A, poly1, f, g, h, i等）的迭代组合，最终形成龟形轮廓的重复排列。该范例适合中学几何教学、数学艺术探索或教师演示，帮助学生直观理解变换在密铺设计中的应用，并激发对几何美学的兴趣。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon(A, B, 4) → poly1, f, g, h, i, C, D
  2. Polygon(C, D, A, B) → poly2, j, k, l, m
  3. PointIn(poly2) → G
  4. PointIn(poly2) → H
  5. PointIn(poly2) → I
  6. PointIn(poly2) → J
  7. PointIn(poly2) → F
  8. PointIn(poly2) → E
  9. Polygon(A, B, C, J, I, H, G, F, E) → poly3, a, b, c, j_1, i_1, h_1, g_1, f_1, e
  10. Rotate(A, 270°, C) → A'
  11. Rotate(B, 270°, C) → B'
  12. Rotate(C, 270°, C) → C'
  13. Rotate(J, 270°, C) → J'
  14. Rotate(I, 270°, C) → I'
  15. Rotate(H, 270°, C) → H'
  16. Rotate(G, 270°, C) → G'
  17. Rotate(F, 270°, C) → F'
  18. Rotate(E, 270°, C) → E'
  19. Polygon(A', B', C', J', I', H', G', F', E') → poly3', a', b', c', j', i', h', g', f', e'
  20. Line(A, B') → n
  21. Mirror(E', n) → E''
  22. Mirror(F', n) → F''
  23. Mirror(G', n) → G''
  24. Mirror(H', n) → H''
  25. Mirror(I', n) → I''
  26. Mirror(J', n) → J''
  27. Mirror(C, n) → C'_1
  28. Mirror(J, n) → J'_1
  29. Mirror(I, n) → I'_1
  30. Mirror(H, n) → H'_1
  31. Mirror(G, n) → G'_1
  32. Mirror(F, n) → F'_1
  33. Mirror(E, n) → E'_1
  34. Polygon(A, E, H', G', F', E', A', E'', F'', G'', H'', I'', F, J'', C'_1, J'_1, I'_1, H'_1, G'_1, F'_1, E'_1, G, H, I, J, C, J', I') → poly4, a_1, i'_1, h'_1, g'_1, f'_1, e'_1, a'_1, e'', f'', g'', h'', e_1, i'', j'', c'_1, j'_2, i'_2, h'_2, g'_2, f'_2, e'_2, f_2, g_2, h_2, i_2, j_2, c_1, j'_1
  35. Rotate(A, 90°, C) → A'_1
  36. Rotate(E, 90°, C) → E'_2
  37. Rotate(F, 90°, C) → F'_2
  38. Rotate(G, 90°, C) → G'_2
  39. Rotate(H, 90°, C) → H'_2
  40. Rotate(I, 90°, C) → I'_2
  41. Rotate(J, 90°, C) → J'_2
  42. Rotate(C, 90°, C) → C'_2
  43. Rotate(J', 90°, C) → J''_1
  44. Rotate(I', 90°, C) → I''_1
  45. Rotate(H', 90°, C) → H''_1
  46. Rotate(G', 90°, C) → G''_1
  47. Rotate(F', 90°, C) → F''_1
  48. Rotate(E', 90°, C) → E''_1
  49. Rotate(A', 90°, C) → A''
  50. Rotate(E'', 90°, C) → E'''
  51. Rotate(F'', 90°, C) → F'''
  52. Rotate(G'', 90°, C) → G'''
  53. Rotate(H'', 90°, C) → H'''
  54. Rotate(I'', 90°, C) → I'''
  55. Rotate(J'', 90°, C) → J'''
  56. Rotate(C'_1, 90°, C) → K
  57. Rotate(J'_1, 90°, C) → M
  58. Rotate(I'_1, 90°, C) → N
  59. Rotate(H'_1, 90°, C) → O
  60. Rotate(G'_1, 90°, C) → P
  61. Rotate(F'_1, 90°, C) → Q
  62. Rotate(E'_1, 90°, C) → R
  63. Polygon(A'_1, E'_2, H''_1, G''_1, F''_1, E''_1, A'', E''', F''', G''', H''', I''', F'_2, J''', K, M, N, O, P, Q, R, G'_2, H'_2, I'_2, J'_2, C'_2, J''_1, I''_1) → poly4', a'_2, i''_1, h''_1, g''_1, f''_1, e''_1, a'', e''', f''', g''', h''', e'_3, i''', j''', k_1, m_1, n_1, o, p, q, r, f'_3, g'_3, h'_3, i'_3, j'_3, c'_2, j''_1
  64. Rotate(A'_1, 90°, C) → S
  65. Rotate(E'_2, 90°, C) → T
  66. Rotate(F'_2, 90°, C) → U
  67. Rotate(G'_2, 90°, C) → V
  68. Rotate(H'_2, 90°, C) → W
  69. Rotate(I'_2, 90°, C) → Z
  70. Rotate(J'_2, 90°, C) → A_1
  71. Rotate(C'_2, 90°, C) → B_1
  72. Rotate(J''_1, 90°, C) → C_1
  73. Rotate(I''_1, 90°, C) → D_1
  74. Rotate(H''_1, 90°, C) → E_1
  75. Rotate(G''_1, 90°, C) → F_1
  76. Rotate(F''_1, 90°, C) → G_1
  77. Rotate(E''_1, 90°, C) → H_1
  78. Rotate(A'', 90°, C) → A'''
  79. Rotate(E''', 90°, C) → I_1
  80. Rotate(F''', 90°, C) → J_1
  81. Rotate(G''', 90°, C) → K_1
  82. Rotate(H''', 90°, C) → L_1
  83. Rotate(I''', 90°, C) → M_1
  84. Rotate(J''', 90°, C) → N_1
  85. Rotate(K, 90°, C) → K'
  86. Rotate(M, 90°, C) → M'
  87. Rotate(N, 90°, C) → N'
  88. Rotate(O, 90°, C) → O'
  89. Rotate(P, 90°, C) → P'
  90. Rotate(Q, 90°, C) → Q'
  91. Rotate(R, 90°, C) → R'
  92. Polygon(S, T, E_1, F_1, G_1, H_1, A''', I_1, J_1, K_1, L_1, M_1, U, N_1, K', M', N', O', P', Q', R', V, W, Z, A_1, B_1, C_1, D_1) → poly4'', s, d_1, e_2, f_3, g_3, h_3, a''', i_3, j_3, k_2, l_1, t, m_2, n_2, k', m', n', o', p', q', r', u, v, w, z_1, a_2, b_1, c_2
  93. Rotate(S, 90°, C) → S'
  94. Rotate(T, 90°, C) → T'
  95. Rotate(U, 90°, C) → U'
  96. Rotate(V, 90°, C) → V'
  97. Rotate(W, 90°, C) → W'
  98. Rotate(Z, 90°, C) → Z'
  99. Rotate(A_1, 90°, C) → O_1
  100. Rotate(B_1, 90°, C) → P_1
  101. Rotate(C_1, 90°, C) → Q_1
  102. Rotate(D_1, 90°, C) → R_1
  103. Rotate(E_1, 90°, C) → S_1
  104. Rotate(F_1, 90°, C) → T_1
  105. Rotate(G_1, 90°, C) → U_1
  106. Rotate(H_1, 90°, C) → V_1
  107. Rotate(A''', 90°, C) → W_1
  108. Rotate(I_1, 90°, C) → Z_1
  109. Rotate(J_1, 90°, C) → A_2
  110. Rotate(K_1, 90°, C) → B_2
  111. Rotate(L_1, 90°, C) → C_2
  112. Rotate(M_1, 90°, C) → D_2
  113. Rotate(N_1, 90°, C) → E_2
  114. Rotate(K', 90°, C) → K''
  115. Rotate(M', 90°, C) → M''
  116. Rotate(N', 90°, C) → N''
  117. Rotate(O', 90°, C) → O''
  118. Rotate(P', 90°, C) → P''
  119. Rotate(Q', 90°, C) → Q''
  120. Rotate(R', 90°, C) → R''
  121. Polygon(S', T', S_1, T_1, U_1, V_1, W_1, Z_1, A_2, B_2, C_2, D_2, U', E_2, K'', M'', N'', O'', P'', Q'', R'', V', W', Z', O_1, P_1, Q_1, R_1) → poly4''', s', r_1, s_1, t_1, u_1, v_1, w_1, z_2, a_3, b_2, c_3, t', d_2, e_3, k'', m'', n'', o'', p'', q'', r'', u', v', w', z', o_1, p_1, q_1
  122. Rotate(A, 90°, C'_1) → A'_2
  123. Rotate(E, 90°, C'_1) → E'_3
  124. Rotate(F, 90°, C'_1) → F'_3
  125. Rotate(G, 90°, C'_1) → G'_3
  126. Rotate(H, 90°, C'_1) → H'_3
  127. Rotate(I, 90°, C'_1) → I'_3
  128. Rotate(J, 90°, C'_1) → J'_3
  129. Rotate(C, 90°, C'_1) → C'_3
  130. Rotate(J', 90°, C'_1) → J''_2
  131. Rotate(I', 90°, C'_1) → I''_2
  132. Rotate(H', 90°, C'_1) → H''_2
  133. Rotate(G', 90°, C'_1) → G''_2
  134. Rotate(F', 90°, C'_1) → F''_2
  135. Rotate(E', 90°, C'_1) → E''_2
  136. Rotate(A', 90°, C'_1) → A''_1
  137. Rotate(E'', 90°, C'_1) → E'''_1
  138. Rotate(F'', 90°, C'_1) → F'''_1
  139. Rotate(G'', 90°, C'_1) → G'''_1
  140. Rotate(H'', 90°, C'_1) → H'''_1
  141. Rotate(I'', 90°, C'_1) → I'''_1
  142. Rotate(J'', 90°, C'_1) → J'''_1
  143. Rotate(C'_1, 90°, C'_1) → F_2
  144. Rotate(J'_1, 90°, C'_1) → G_2
  145. Rotate(I'_1, 90°, C'_1) → H_2
  146. Rotate(H'_1, 90°, C'_1) → I_2
  147. Rotate(G'_1, 90°, C'_1) → J_2
  148. Rotate(F'_1, 90°, C'_1) → K_2
  149. Rotate(E'_1, 90°, C'_1) → L_2
  150. Polygon(A'_2, E'_3, H''_2, G''_2, F''_2, E''_2, A''_1, E'''_1, F'''_1, G'''_1, H'''_1, I'''_1, F'_3, J'''_1, F_2, G_2, H_2, I_2, J_2, K_2, L_2, G'_3, H'_3, I'_3, J'_3, C'_3, J''_2, I''_2) → poly4'_1, a'_3, i''_2, h''_2, g''_2, f''_2, e''_2, a''_1, e'''_1, f'''_1, g'''_1, h'''_1, e'_4, i'''_1, j'''_1, f_4, g_4, h_4, i_4, j_4, k_3, l_2, f'_4, g'_4, h'_4, i'_4, j'_4, c'_3, j''_2
  151. Rotate(A'_2, 90°, C'_1) → M_2
  152. Rotate(E'_3, 90°, C'_1) → N_2
  153. Rotate(F'_3, 90°, C'_1) → O_2
  154. Rotate(G'_3, 90°, C'_1) → P_2
  155. Rotate(H'_3, 90°, C'_1) → Q_2
  156. Rotate(I'_3, 90°, C'_1) → R_2
  157. Rotate(J'_3, 90°, C'_1) → S_2
  158. Rotate(C'_3, 90°, C'_1) → T_2
  159. Rotate(J''_2, 90°, C'_1) → U_2
  160. Rotate(I''_2, 90°, C'_1) → V_2
  161. Rotate(H''_2, 90°, C'_1) → W_2
  162. Rotate(G''_2, 90°, C'_1) → Z_2
  163. Rotate(F''_2, 90°, C'_1) → A_3
  164. Rotate(E''_2, 90°, C'_1) → B_3
  165. Rotate(A''_1, 90°, C'_1) → C_3
  166. Rotate(E'''_1, 90°, C'_1) → D_3
  167. Rotate(F'''_1, 90°, C'_1) → E_3
  168. Rotate(G'''_1, 90°, C'_1) → F_3
  169. Rotate(H'''_1, 90°, C'_1) → G_3
  170. Rotate(I'''_1, 90°, C'_1) → H_3
  171. Rotate(J'''_1, 90°, C'_1) → I_3
  172. Rotate(F_2, 90°, C'_1) → J_3
  173. Rotate(G_2, 90°, C'_1) → K_3
  174. Rotate(H_2, 90°, C'_1) → L_3
  175. Rotate(I_2, 90°, C'_1) → M_3
  176. Rotate(J_2, 90°, C'_1) → N_3
  177. Rotate(K_2, 90°, C'_1) → O_3
  178. Rotate(L_2, 90°, C'_1) → P_3
  179. Polygon(M_2, N_2, W_2, Z_2, A_3, B_3, C_3, D_3, E_3, F_3, G_3, H_3, O_2, I_3, J_3, K_3, L_3, M_3, N_3, O_3, P_3, P_2, Q_2, R_2, S_2, T_2, U_2, V_2) → poly5, m_3, v_2, w_2, z_3, a_4, b_3, c_4, d_3, e_4, f_5, g_5, n_3, h_5, i_5, j_5, k_4, l_3, m_4, n_4, o_3, p_3, o_2, p_2, q_2, r_2, s_2, t_2, u_2
  180. Rotate(M_2, 90°, C'_1) → Q_3
  181. Rotate(N_2, 90°, C'_1) → R_3
  182. Rotate(O_2, 90°, C'_1) → S_3
  183. Rotate(P_2, 90°, C'_1) → T_3
  184. Rotate(Q_2, 90°, C'_1) → U_3
  185. Rotate(R_2, 90°, C'_1) → V_3
  186. Rotate(S_2, 90°, C'_1) → W_3
  187. Rotate(T_2, 90°, C'_1) → Z_3
  188. Rotate(U_2, 90°, C'_1) → A_4
  189. Rotate(V_2, 90°, C'_1) → B_4
  190. Rotate(W_2, 90°, C'_1) → C_4
  191. Rotate(Z_2, 90°, C'_1) → D_4
  192. Rotate(A_3, 90°, C'_1) → E_4
  193. Rotate(B_3, 90°, C'_1) → F_4
  194. Rotate(C_3, 90°, C'_1) → G_4
  195. Rotate(D_3, 90°, C'_1) → H_4
  196. Rotate(E_3, 90°, C'_1) → I_4
  197. Rotate(F_3, 90°, C'_1) → J_4
  198. Rotate(G_3, 90°, C'_1) → K_4
  199. Rotate(H_3, 90°, C'_1) → L_4
  200. Rotate(I_3, 90°, C'_1) → M_4
  201. Rotate(J_3, 90°, C'_1) → N_4
  202. Rotate(K_3, 90°, C'_1) → O_4
  203. Rotate(L_3, 90°, C'_1) → P_4
  204. Rotate(M_3, 90°, C'_1) → Q_4
  205. Rotate(N_3, 90°, C'_1) → R_4
  206. Rotate(O_3, 90°, C'_1) → S_4
  207. Rotate(P_3, 90°, C'_1) → T_4
  208. Polygon(Q_3, R_3, C_4, D_4, E_4, F_4, G_4, H_4, I_4, J_4, K_4, L_4, S_3, M_4, N_4, O_4, P_4, Q_4, R_4, S_4, T_4, T_3, U_3, V_3, W_3, Z_3, A_4, B_4) → poly5', q_3, b_4, c_5, d_4, e_5, f_6, g_6, h_6, i_6, j_6, k_5, r_3, l_4, m_5, n_5, o_4, p_4, q_4, r_4, s_4, t_4, s_3, t_3, u_3, v_3, w_3, z_4, a_5
  209. Rotate(A, 180°, A) → A'_3
  210. Rotate(E, 180°, A) → E'_4
  211. Rotate(F, 180°, A) → F'_4
  212. Rotate(G, 180°, A) → G'_4
  213. Rotate(H, 180°, A) → H'_4
  214. Rotate(I, 180°, A) → I'_4
  215. Rotate(J, 180°, A) → J'_4
  216. Rotate(C, 180°, A) → C'_4
  217. Rotate(J', 180°, A) → J''_3
  218. Rotate(I', 180°, A) → I''_3
  219. Rotate(H', 180°, A) → H''_3
  220. Rotate(G', 180°, A) → G''_3
  221. Rotate(F', 180°, A) → F''_3
  222. Rotate(E', 180°, A) → E''_3
  223. Rotate(A', 180°, A) → A''_2
  224. Rotate(E'', 180°, A) → E'''_2
  225. Rotate(F'', 180°, A) → F'''_2
  226. Rotate(G'', 180°, A) → G'''_2
  227. Rotate(H'', 180°, A) → H'''_2
  228. Rotate(I'', 180°, A) → I'''_2
  229. Rotate(J'', 180°, A) → J'''_2
  230. Rotate(C'_1, 180°, A) → U_4
  231. Rotate(J'_1, 180°, A) → V_4
  232. Rotate(I'_1, 180°, A) → W_4
  233. Rotate(H'_1, 180°, A) → Z_4
  234. Rotate(G'_1, 180°, A) → A_5
  235. Rotate(F'_1, 180°, A) → B_5
  236. Rotate(E'_1, 180°, A) → C_5
  237. Polygon(A'_3, E'_4, H''_3, G''_3, F''_3, E''_3, A''_2, E'''_2, F'''_2, G'''_2, H'''_2, I'''_2, F'_4, J'''_2, U_4, V_4, W_4, Z_4, A_5, B_5, C_5, G'_4, H'_4, I'_4, J'_4, C'_4, J''_3, I''_3) → poly4'_2, a'_4, i''_3, h''_3, g''_3, f''_3, e''_3, a''_2, e'''_2, f'''_2, g'''_2, h'''_2, e'_5, i'''_2, j'''_2, u_4, v_4, w_4, z_5, a_6, b_5, c_6, f'_5, g'_5, h'_5, i'_5, j'_5, c'_4, j''_3
  238. Rotate(A, 180°, A') → A'_4
  239. Rotate(E, 180°, A') → E'_5
  240. Rotate(F, 180°, A') → F'_5
  241. Rotate(G, 180°, A') → G'_5
  242. Rotate(H, 180°, A') → H'_5
  243. Rotate(I, 180°, A') → I'_5
  244. Rotate(J, 180°, A') → J'_5
  245. Rotate(C, 180°, A') → C'_5
  246. Rotate(J', 180°, A') → J''_4
  247. Rotate(I', 180°, A') → I''_4
  248. Rotate(H', 180°, A') → H''_4
  249. Rotate(G', 180°, A') → G''_4
  250. Rotate(F', 180°, A') → F''_4
  251. Rotate(E', 180°, A') → E''_4
  252. Rotate(A', 180°, A') → A''_3
  253. Rotate(E'', 180°, A') → E'''_3
  254. Rotate(F'', 180°, A') → F'''_3
  255. Rotate(G'', 180°, A') → G'''_3
  256. Rotate(H'', 180°, A') → H'''_3
  257. Rotate(I'', 180°, A') → I'''_3
  258. Rotate(J'', 180°, A') → J'''_3
  259. Rotate(C'_1, 180°, A') → D_5
  260. Rotate(J'_1, 180°, A') → E_5
  261. Rotate(I'_1, 180°, A') → F_5
  262. Rotate(H'_1, 180°, A') → G_5
  263. Rotate(G'_1, 180°, A') → H_5
  264. Rotate(F'_1, 180°, A') → I_5
  265. Rotate(E'_1, 180°, A') → J_5
  266. Polygon(A'_4, E'_5, H''_4, G''_4, F''_4, E''_4, A''_3, E'''_3, F'''_3, G'''_3, H'''_3, I'''_3, F'_5, J'''_3, D_5, E_5, F_5, G_5, H_5, I_5, J_5, G'_5, H'_5, I'_5, J'_5, C'_5, J''_4, I''_4) → poly4'_3, a'_5, i''_4, h''_4, g''_4, f''_4, e''_4, a''_3, e'''_3, f'''_3, g'''_3, h'''_3, e'_6, i'''_3, j'''_3, d_5, e_6, f_7, g_7, h_7, i_7, j_7, f'_6, g'_6, h'_6, i'_6, j'_6, c'_5, j''_4
  267. PolyLine(A, B, C, D, A) → l_5
  268. Polygon(E, F, G, H, I, J, C, D) → poly6, e_7, f_8, g_8, h_8, i_8, j_8, c_7, d_6