积极 AI Logo 积极 AI

全微分可视化（Boas 第4章图3.2）

全微分可视化（Boas 第4章图3.2）
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2019-09-26 11:38
向量解析几何微积分导数函数图像
该范例通过三维曲面与切平面直观展示二元函数的全微分（total differential）概念，对应Boas教材第4章图3.2。核心数学概念包括偏导数、全微分、切平面近似以及微分增量dx、dy与dz之间的关系。作图要点：使用GeoGebra的Derivative命令计算偏导数，PointIn和Vector构造采样点及增量向量，CurveCartesian绘制偏导曲线，Surface生成函数曲面；对象包括Z、P、zp、dZdx、dZdy、dZdxP、dZdyP、E、R、nudge、Zsample、PGCDplane、Hplane、PABCplane、dy、dx、F、D、C、G、A、B、S、Q等，并配有多个文本标签解释各量。适合大学微积分或多元函数课程教学，帮助学生理解全微分作为线性近似的几何意义，以及偏导数在切平面构造中的作用。

GeoGebra 命令及参数

  1. Derivative(Z, x) → dZdx
  2. Derivative(Z, y) → dZdy
  3. PointIn(zp) → E
  4. Vector(F, C) → dZdxdxF
  5. Vector(E, E + dZdxdxF) → dZdxdxE
  6. Vector(D, A) → dZdydyD
  7. Vector(G, B) → dZdydyE
  8. CurveCartesian(P + (t, 0, Z(x(P) + t, y(P)) - Z(x(P), y(P))), t, 0, dx) → dZdxCurve
  9. CurveCartesian(P + (0, t, Z(x(P), y(P) + t) - Z(x(P), y(P))), t, 0, dy) → dZdyCurve
  10. Vector(E + nudgePE, B + nudgePE) → dZ
  11. Vector(P, C) → u
  12. Vector(P, A) → v
  13. Surface(i + x(P), y(P), k, i, 0, (2 * dx), k, 0, z(R - E)) → constY
  14. Surface(x(P), i + y(P), k, i, 0, (2 * dy), k, 0, z(R - E)) → constX

AI 绘图提示语参考

绘制一个三维坐标系中的曲面，表示二元函数。在曲面上选取一点，过该点作切平面，并画出沿x和y方向的偏导数曲线。从该点出发，用向量表示自变量增量dx和dy，以及对应的函数增量dz，展示全微分作为线性近似的几何意义。同时画出过该点且平行于坐标平面的两个截面，以及由这些增量构成的平行四边形，标注各向量和增量，直观展示偏导数与全微分的关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。