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斯坦豪斯铰接七巧板：面积守恒的旋转拼图

斯坦豪斯铰接七巧板：面积守恒的旋转拼图
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2019-07-28 19:06
多边形角变换最值优化几何作图
所属专题 Exploring Feyman's Triangle
该范例演示了一个基于斯坦豪斯（Steinhaus）设计的铰接式七巧板拼图，通过旋转和移动多个多边形部件，展示在拼图变换过程中总面积保持不变的几何现象。核心数学概念包括面积守恒、多边形分割与重组、旋转变换以及线性规划思想（用于优化部件布局）。作图要点是利用GeoGebra的Segment、Dilate、Intersect、Polygon、Midpoint、Rotate、Semicircle、Point、Angle等命令，构造了多个三角形、半圆及辅助点，并通过旋转复制（如poly1'、poly1'_1等）生成对称或铰接的部件组，形成可动态调整的拼图结构。该范例适合中学高年级至大学低年级学生，用于直观理解几何变换下的不变量，也可作为数学实验或探究性学习的素材，帮助培养空间想象与逻辑推理能力。

GeoGebra 命令及参数

  1. Segment(A, B) → f
  2. Segment(B, C) → g
  3. Segment(C, A) → h
  4. Dilate(B, 1 / 3, A) → B'
  5. Dilate(A, 1 / 3, C) → A'
  6. Dilate(C, 1 / 3, B) → C'
  7. Segment(C, B') → i
  8. Segment(B, A') → j
  9. Segment(C', A) → k
  10. Intersect(i, j) → D
  11. Intersect(j, k) → E
  12. Intersect(i, k) → F
  13. Polygon(F, E, D) → poly1, d, f_1, e
  14. Midpoint(D, E) → G
  15. Midpoint(F, E) → H
  16. Midpoint(D, F) → I
  17. Rotate(F, 180°, G) → F'
  18. Rotate(E, 180°, G) → E'
  19. Rotate(D, 180°, G) → D'
  20. Polygon(F', E', D') → poly1', d', f', e'
  21. Rotate(F, 180°, H) → F'_1
  22. Rotate(E, 180°, H) → E'_1
  23. Rotate(D, 180°, H) → D'_1
  24. Polygon(F'_1, E'_1, D'_1) → poly1'_1, d'_1, f'_1, e'_1
  25. Rotate(F, 180°, I) → F'_2
  26. Rotate(E, 180°, I) → E'_2
  27. Rotate(D, 180°, I) → D'_2
  28. Polygon(F'_2, E'_2, D'_2) → poly1'_2, d'_2, f'_2, e'_2
  29. Midpoint(C, B) → J
  30. Midpoint(C, A) → K
  31. Midpoint(A, B) → L
  32. Polygon(J, E, C') → poly2, c', j_1, e_1
  33. Polygon(F, B', L) → poly3, l, f_2, b'
  34. Polygon(A', D, K) → poly4, k_1, a', d_1
  35. Intersect(h, f'_2) → M
  36. Intersect(g, d') → N
  37. Intersect(f, e'_1) → O
  38. Polygon(M, A, F) → poly5, f_3, m, a
  39. Polygon(E, O, B) → poly6, b, e_2, o
  40. Polygon(C, D, N) → poly7, n, c, d_2
  41. Semicircle(P, Q) → p
  42. Midpoint(Q, P) → R
  43. Point(p) → S
  44. Segment(S, R) → q
  45. Segment(P, R) → r
  46. Angle(S, R, P) → α
  47. Rotate(J, α, J) → J'
  48. Rotate(E, α, J) → E'_3
  49. Rotate(C', α, J) → C''
  50. Polygon(J', E'_3, C'') → poly2', c'', j', e'_3
  51. Rotate(F, α, L) → F'_3
  52. Rotate(B', α, L) → B''
  53. Rotate(L, α, L) → L'
  54. Polygon(F'_3, B'', L') → poly3', l', f'_3, b''
  55. Rotate(A', α, K) → A''
  56. Rotate(D, α, K) → D'_3
  57. Rotate(K, α, K) → K'
  58. Polygon(A'', D'_3, K') → poly4', k', a'', d'_3
  59. Rotate(C, (-α), J) → C'_1
  60. Rotate(D, (-α), J) → D'_4
  61. Rotate(N, (-α), J) → N'
  62. Polygon(C'_1, D'_4, N') → poly7', n', c'_1, d'_4
  63. Rotate(E, (-α), L) → E'_4
  64. Rotate(O, (-α), L) → O'
  65. Rotate(B, (-α), L) → B'_1
  66. Polygon(E'_4, O', B'_1) → poly6', b'_1, e'_4, o'
  67. Segment(L, O') → s
  68. Segment(J, N') → t
  69. Rotate(M, (-α), K) → M'
  70. Rotate(A, (-α), K) → A'_1
  71. Rotate(F, (-α), K) → F'_4
  72. Polygon(M', A'_1, F'_4) → poly5', f'_4, m', a'_1
  73. Segment(M', K) → g_1
  74. Polygon(D, E, J, N) → poly8, d_3, e_3, j_2, n_1
  75. Polygon(D, K, M, F) → poly9, d_4, k_2, m_1, f_4
  76. Polygon(F, L, O, E) → poly10, f_5, l_1, o_1, e_4
  77. Polygon(A', D, C) → poly11, c_1, a'_2, d_5
  78. Polygon(C', E, B) → poly12, b_1, c'_2, e_5
  79. Polygon(F, B', A) → poly13, a_1, f_6, b'_2