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正方形螺旋的极限与迭代构造

正方形螺旋的极限与迭代构造
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2018-05-09 07:47
多边形数列极限变换几何作图
该范例通过GeoGebra演示了一个由正方形不断旋转、缩放并嵌套形成的螺旋图形，直观展示了迭代过程与极限思想。核心数学概念包括正方形、中点、旋转、缩放（位似）、极限以及由迭代生成的无穷序列。作图要点是利用Polygon命令创建初始正方形，然后通过Midpoint取中点、Dilate进行缩放、Rotate旋转，反复作用于前一个正方形，生成一系列嵌套的正方形（poly1, poly1', poly1''等），并辅以辅助对象（如q1, q2等）控制螺旋的走向。该范例适合高中或大学低年级学生，用于理解几何变换的复合、数列极限的几何意义，以及动态几何软件中的迭代构造方法，也可作为微积分中极限概念的直观教具。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon(A, B, 4) → poly1, f, g, h, i, C, D
  2. Midpoint(A, C) → E
  3. Dilate(poly1, 5 / 6, E) → poly1'
  4. Rotate(poly1', (-(12°)), E) → poly1''
  5. Dilate(poly1'', 5 / 6, E) → poly1'''
  6. Rotate(poly1''', (-(12°)), E) → q1
  7. Dilate(q1, 5 / 6, E) → q1'
  8. Rotate(q1', (-(12°)), E) → q1''
  9. Dilate(q1'', 5 / 6, E) → q1'''
  10. Rotate(q1''', (-(13°)), E) → q2
  11. Dilate(q2, 5 / 6, E) → q2'
  12. Rotate(q2', (-(12°)), E) → q2''
  13. Dilate(q2'', 5 / 6, E) → q2'''
  14. Rotate(q2''', -12°, E) → q3
  15. Dilate(q3, 5 / 6, E) → q3'
  16. Rotate(q3', (-(12°)), E) → q3''
  17. Dilate(q3'', 5 / 6, E) → q3'''
  18. Rotate(q3''', (-(12°)), E) → q4
  19. Dilate(q4, 5 / 6, E) → q4'
  20. Rotate(q4', (-(12°)), E) → q4''