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标量乘法：向量缩放与几何表示

标量乘法：向量缩放与几何表示
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2016-12-27 11:09
向量解析几何变换几何作图滑块动画
本范例通过 GeoGebra 交互式演示标量乘法（Scalar Multiplication）的几何效果。用户可调整参数 k，观察向量 u 被缩放后得到的新向量（如 k·u）在平面上的位置、长度和方向变化。核心数学概念是向量的数乘运算，即标量与向量相乘，结果仍为向量，其方向与原向量相同（k>0）或相反（k<0），长度变为原长度的 |k| 倍。作图过程中，使用了 Vector 命令创建向量，Translate 命令平移点以生成多个相关点（如 C', C'', C''' 等），Segment 命令连接线段，Point 和 Midpoint 命令确定关键点，并利用多个辅助对象（如 a, b, c, d 及其带撇号版本）构建完整的几何结构。该范例适合高中或大学低年级学生理解向量代数与几何的对应关系，也可作为教师课堂演示的互动工具，帮助学生直观掌握标量乘法的性质。

GeoGebra 命令及参数

  1. Vector(A, B) → u
  2. Translate(C, u) → C'
  3. Translate(C', u) → C''
  4. Translate(C'', u) → C'''
  5. Translate(C''', u) → C''''
  6. Segment(C, C') → a
  7. Segment(C', C'') → b
  8. Segment(C'', C''') → c
  9. Segment(C''', C'''') → d
  10. Segment(A, C) → a'
  11. Segment(A, C') → b'
  12. Segment(A, C'') → c'
  13. Segment(A, C''') → d'
  14. Point(a', n) → A_1
  15. Point(b', n - 1) → B_1
  16. Translate(A_1, u) → D
  17. Vector(A_1, D) → a_1
  18. Translate(B_1, u) → E
  19. Vector(B_1, E) → b_1
  20. Translate(C, Fin) → EndC
  21. Segment(C, EndC) → CEndC
  22. Point(CEndC, ((n - abs(k)) * 2 / abs(k))) → AlmEnd
  23. Vector(C, AlmEnd) → End
  24. Translate(C, Vector[(-u)]) → C'_1
  25. Translate(C'_1, Vector[(-u)]) → C''_1
  26. Translate(C''_1, Vector[(-u)]) → C'''_1
  27. Translate(C'''_1, Vector[(-u)]) → C''''_1
  28. Segment(C, C'_1) → e
  29. Segment(C'_1, C''_1) → f
  30. Segment(C''_1, C'''_1) → g
  31. Segment(C'''_1, C''''_1) → h
  32. Segment(A, C'_1) → e'
  33. Segment(A, C''_1) → f'
  34. Segment(A, C'''_1) → g'
  35. Segment(A, C''''_1) → h'
  36. Point(c', n - 2) → C_1
  37. Point(d', n - 3) → D_1
  38. Translate(C_1, u) → F
  39. Vector(C_1, F) → c_1
  40. Translate(D_1, u) → G
  41. Vector(D_1, G) → d_1
  42. Point(e', n - 1) → E_1
  43. Translate(E_1, Vector[(-u)]) → H
  44. Vector(E_1, H) → e_1
  45. Translate(A_1, Vector[(-u)]) → I
  46. Vector(A_1, I) → a_1'
  47. Point(f', n - 2) → F_1
  48. Point(g', n - 3) → G_1
  49. Translate(F_1, Vector[(-u)]) → J
  50. Vector(F_1, J) → f_1
  51. Translate(G_1, Vector[(-u)]) → K
  52. Vector(G_1, K) → g_1
  53. Translate(A, Vector[(-u)]) → A'
  54. Vector(A, A') → v
  55. Midpoint(C, AlmEnd) → Mid