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顶点等价且在同一球面上极值分布的多面体

顶点等价且在同一球面上极值分布的多面体
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2020-10-25 20:18
多边形立体几何最值优化几何作图
所属专题 ₈Polyhedra with extreme distribution of equivalent vertices
① 本范例演示一类特殊多面体：其所有顶点在几何上等价（即对称等价），并且这些顶点在同一个球面上呈现极值分布（如最大最小距离、质心或体积优化等）。② 核心数学概念包括多面体对称性、球面几何、质心（重心）、优化问题（线性规划或线性优化）、几何平均数、中位数、体积与特殊点（如外接球心）等。③ 作图要点：从构造摘要可见，使用了GeoGebra命令如Sphere（球）、Text/Textfield（文本与输入框）、TableText（表格）、Append/Zip/If/Sum（列表与条件求和）等，并涉及对象如O（球心）、R（半径）、n（顶点数）、p1（顶点列表）、Wii_P（权重）、Cm（质心）、aPV/aGM/aGC（面积、几何均值、几何中心相关量）等，通过交互输入框（InputBox）调整参数，动态观察多面体顶点在球面上的分布变化。④ 适合高中至大学阶段的立体几何、优化与数学建模教学，也可用于计算机图形学中对称多面体的可视化探究。

GeoGebra 命令及参数

  1. LaTeX(Um1) → lll1_1
  2. LaTeX(Um0) → lll0
  3. Sphere(O, R) → p1
  4. Textfield(n) → InputBox1
  5. Textfield(i0) → InputBox2
  6. Text(r) → Txtr
  7. Textfield(k_1) → InputBox4
  8. UnicodeToLetter(34) → u34
  9. Textfield(k_2) → InputBox5
  10. TableText(ltxt0, ltxt1, "v") → textltxt01
  11. Append(A, Sequence[((random(), random(), random()) * R), i, 2, n]) → l2s
  12. Text(("(up\; to\; 10^{-15})\;\\ accuracy= " * ScientificText[cc, 3]), C, true, true) → text5r
  13. Zip(Vector[a, a + UnitVector[a]], a, lP') → lVector1
  14. Textfield(scale) → InputBox6
  15. TableText(Append["i", 1…n], Append[" \fgcolor{orange}{GM :Δφ_i}, rad", l1], Append["\fgcolor{magenta}{GC :Δφ_i} , rad", l1c], "v") → text23
  16. Text("\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\fgcolor{" + (If[c', "orange", "brown"]) + "} \boxed{ " + c' + "}\;\;\;\; \;\;\;\;\; \\\;\; ( accuracy- up\; to\;\; 2.*10^{" + k_2 + ("\;})\;\\\;\; ➤➤➤\;\;\;\scalebox{1.3}{ " + (ScientificText[cc, 3])) + "}\;█ ", C, true, true) → text9
  17. If(bu, "Animation", "Stop") → bue0
  18. Zip(Vector[a, a + (1.5 * UnitVector[b])], a, lP', b, Wi_P) → lVector3
  19. Zip(Vector[a, a + (1.5 * UnitVector[b])], a, lP', b, Wi_Pc) → lVector2
  20. TableText({Join[{{"n"}, Sequence[i, i, 4, 69 + 3]}], Join[{{" p_n=P_n/[R*n*(n-1)/2]"}, lp}]}, "vl") → txt_lp
  21. Text("" + Um1) → txt_p
  22. Sum(Flatten[Sequence[Append[Sequence[Element[txt_p, i], i, m1(k), m2(k)], " "], k, 1, 5]]) → txtUm1
  23. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(1)) → ll1
  24. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(2)) → ll2
  25. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(3)) → ll3

AI 绘图提示语参考

在同一公共球面上画一个以球心为中心的球，标注球心与半径。取输入参数 n 与 i、k_1、k_2、scale，用它们生成并展示由 n 个顶点组成的点集：这些点都位于该球面上，并用表格/文字列出与每个顶点相关的角度分布指标（GM:Δφ_i 与 GC:Δφ_i），并给出相应的径向数值。额外在图中显示关于精度的说明文字，并用分布结果构造/连接线段以强调顶点的极端分布特征，同时保留可交互的参数输入以观察分布变化。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。