双曲面网格建模:菱二十面体与其对偶三角形六十面体

双曲面网格建模:菱二十面体与其对偶三角形六十面体
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2021-01-02 01:19
本例演示如何用网格元素对菱二十面体的曲面进行建模,并同时展示其对偶立体(德洛伊代尔六十面体)的对应曲面构造。核心数学概念包括:多面体几何、对偶立体关系、立体网格离散化、向量与几何变换的应用,以及体积(或球面/包络体)度量的计算与对比。作图要点是从参数化元素集合中生成网格面片:利用“Sequence”产生离散索引与参数序列,再用条件“If”与集合运算“Sum”“Element”筛选并汇总需要的面元;通过“IndexOf”与“First/Max”确定关键位置或最大值控制结构;再结合“Length”计算尺寸/边长等几何量,最后用“TableText”与“Text”输出关键数值(如体积 Vol、Vol_r 及对偶体的 Volsphere_d 等)以形成可读的建模结果。适合高中到大学低年级的立体几何、计算几何与数学可视化课程,用于讲解对偶多面体与离散网格建模思想,也适合开展参数化作图与交互演示。

GeoGebra 命令及参数

  1. Text("" + p) → txt_p
  2. Sum(Flatten[Sequence[Append[Sequence[Element[txt_p, i], i, m01(k), m02(k)], " "], k, 1, 5]]) → txtUm1
  3. If(bu0, A00, A00d) → A00_0
  4. Length(A00_0) → n
  5. Length(l2) → läl2
  6. Sequence(sgn(Determinant[{Element[A00_0, i1] - Element[A00_0, j], Element[A00_0, i2] - Element[A00_0, j], Element[A00_0, i3] - Element[A00_0, j]}]), j, 1, n) → l01
  7. Length(A00d) → zzz
  8. Sum(Zip[(T * F), T, SysTimeAkt1, F, {1, 1000, 60000, 3600000, 86400000}]) → TimeAbs1
  9. Sum(Zip[(T * F), T, SysTimeAkt2, F, {1, 1000, 60000, 3600000, 86400000}]) → TimeAbs2
  10. Div(TimeRelab, 3600) → H
  11. Div(TimeRelab - (H * 3600), 60) → M
  12. Element(ZwZeit, step) → text10
  13. TableText({Append["a duration", Last[ZwZeit, Min[10, Length[ZwZeit]]]]}, "v") → text2c
  14. Length(A00) → lm1
  15. If(Length[Unique[l01 \ {0}]] ≟ 1, 7, -7) → a7
  16. Sum(Zip[(T * F), T, SysTimeAkt0, F, {1, 1000, 60000, 3600000, 86400000}]) → TimeAbs0
  17. Div(TimeRelab0, 3600) → H0
  18. Div(TimeRelab0 - (H0 * 3600), 60) → M0
  19. Text("" + (TimeRelab0 - (H0 * 3600) - (M0 * 60))) → S0a
  20. Text("" + (TimeRelab - (H * 3600) - (M * 60))) → S
  21. IndexOf(".", S) → index
  22. IndexOf(".", S0a) → indexa
  23. First(S, index + 1) → txtS
  24. First(S0a, indexa + 1) → txtS0a
  25. If(bu0, " ", "d") → txtbuo
  26. Max(Length[A00], Length[A00d]) → maxlä
  27. Element(A00, 24) → m11
  28. TableText({{"\underline{Polyhedron}"}, Append["Vertices: n=", {Length[A00]}], Append["r=", {r}], Append["\bar{r}=", {r_m}], Append["k-gon : k=", mm5a], Append["their\; numbers: n_k=", mm7a], Append["Volume: V=", {Vol_r}], Append["Average\; distance: p=", {txtUm1}]}, "hr ") → text7
  29. TableText({{"\underline{dual\;Polyhedron}"}, Append["Vertices: n=", {Length[A00d]}], Append["r=", {r_d}], Append[" \bar{r_d}= ", {r_md}], Append["k-gon : k=", mm5ad], Append["their\; numbers: n_k=", mm7ad], Append["Volume: V=", {Vold_r}]}, "hr ") → text20

AI 绘图提示语参考

绘制一组三维多面体及其对偶关系:先构造具有 60 个顶点的菱二十面体形态,并生成其曲面离散网格表示。随后基于该多面体的对偶构造出顶点数约为 62 的对偶多面体(德尔托伊德六十几面体的网格近似)。用测量得到的几何尺度(如边/长度类参数)来刻画两者的表面单元,并把网格面作为可视化主要内容。最后在图中叠加文本表格,给出两者的顶点数、半径类参数以及体积与平均距离等计算量。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来,仅供参考。