积极 AI Logo 积极 AI

穹顶与屋顶的数学模型：立体几何体与体积优化

穹顶与屋顶的数学模型：立体几何体与体积优化
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2021-02-12 16:25
函数立体几何最值优化几何作图
所属专题 Domes
本范例演示如何用数学方式构造“穹顶/屋顶”类立体外形，并在三维模型中探索其形状参数如何影响体积与最优结构。核心概念包括：立体几何与体积（Prism 等实体组合）、二次函数/截面曲线（用于形成圆弧或抛物线型轮廓）、以及在参数变化下的优化思路（对应 Optimization Problems），必要时结合概率或随机参数的设定以展示可变性（对应 Random Variables/Step Functions）。作图要点与 GeoGebra 构造摘要对应：使用 Join、Sequence 与 Element 来生成多段/多截面并收集关键点；用 Take 与 Prism 将由二维轮廓拼接成三维“棱柱型/实体型”结构；用 Line 与 Polygon 构造穹顶或屋顶的边界线与底面多边形；通过对象 g、n、Color、O、R、m、e_1、以及一系列 A1…A31 控制几何参数、颜色与关键顶点/截面点的位置，最终得到可视化的穹顶与屋顶立体。适合中学到大学的数学与建模课程使用，也适合建筑几何入门、STEM/可视化教学与交互式作业。

GeoGebra 命令及参数

  1. Join(Sequence[Sequence[(x(O) + ((R * cos(i)) * cos(j)), y(O) + ((R * sin(i)) * cos(j)), z(O) + (R * sin(j))), i, 0, 6.28319, (2 * π / n)], j, 0, 1.5708, π / m]) → l1
  2. Sequence(Polygon[Element[l1, i], Element[l1, i + 1], Element[l1, i + n + 2], Element[l1, i + n + 1]], i, 1, Length[l1]) → l2
  3. Element(l2, A1) → B1
  4. Element(l2, A2) → B2
  5. Element(l2, A3) → B3
  6. Element(l2, A4) → B4
  7. Element(l2, A5) → B5
  8. Element(l2, A6) → B6
  9. Element(l2, A7) → B7
  10. Element(l2, A8) → B8
  11. Element(l2, A9) → B9
  12. Element(l2, A10) → B10
  13. Element(l2, A11) → B11
  14. Element(l2, A12) → B12
  15. Element(l2, A13) → B13
  16. Element(l2, A14) → B14
  17. Element(l2, A15) → B15
  18. Element(l2, A16) → B16
  19. Element(l2, A17) → B17
  20. Element(l2, A18) → B18
  21. Element(l2, A19) → B19
  22. Element(l2, A20) → B20
  23. Element(l2, A21) → B21
  24. Element(l2, A22) → B22
  25. Element(l2, A23) → B23
  26. Element(l2, A24) → B24
  27. Element(l2, A25) → B25
  28. Element(l2, A26) → B26
  29. Element(l2, A27) → B27
  30. Element(l2, A28) → B28
  31. Element(l2, A29) → B29
  32. Element(l2, A30) → B30
  33. Element(l2, A31) → B31
  34. Element(l2, A32) → B32
  35. Element(l2, A33) → B33
  36. Element(l2, A34) → B34
  37. Element(l2, A35) → B35
  38. Element(l2, A36) → B36
  39. Element(l2, A37) → B37
  40. Element(l2, A38) → B38
  41. Element(l2, A39) → B39
  42. Element(l2, A40) → B40
  43. Element(l2, A41) → B41
  44. Element(l2, A42) → B42
  45. Element(l2, A43) → B43
  46. Element(l2, A44) → B44
  47. Element(l2, A45) → B45
  48. Element(l2, A46) → B46
  49. Element(l2, A47) → B47
  50. Element(l2, A48) → B48
  51. Element(l2, A49) → B49
  52. Element(l2, A50) → B50
  53. Element(l2, A51) → B51
  54. Element(l2, A52) → B52
  55. Element(l2, A53) → B53
  56. Element(l2, A54) → B54
  57. Element(l2, A55) → B55
  58. Element(l2, A56) → B56
  59. Element(l2, A57) → B57
  60. Element(l2, A58) → B58
  61. Element(l2, A59) → B59
  62. Element(l2, A60) → B60
  63. Element(l2, A61) → B61
  64. Element(l2, A62) → B62
  65. Element(l2, A63) → B63
  66. Element(l2, A64) → B64
  67. Element(l2, A65) → B65
  68. Element(l2, A66) → B66
  69. Element(l2, A67) → B67
  70. Element(l2, A68) → B68
  71. Element(l2, A69) → B69
  72. Element(l2, A70) → B70
  73. Element(l2, A71) → B71
  74. Element(l2, A72) → B72
  75. Element(l2, A73) → B73
  76. Element(l2, A74) → B74
  77. Element(l2, A75) → B75
  78. Element(l2, A76) → B76
  79. Element(l2, A77) → B77
  80. Element(l2, A78) → B78
  81. Element(l2, A79) → B79
  82. Element(l2, A80) → B80
  83. Element(l2, A81) → B81
  84. Element(l2, A82) → B82
  85. Element(l2, A83) → B83
  86. Element(l2, A84) → B84
  87. Element(l2, A85) → B85
  88. Element(l2, A86) → B86
  89. Element(l2, A87) → B87
  90. Element(l2, A88) → B88
  91. Element(l2, A89) → B89
  92. Element(l2, A90) → B90
  93. Element(l2, A91) → B91
  94. Element(l2, A92) → B92
  95. Element(l2, A93) → B93
  96. Element(l2, A94) → B94
  97. Element(l2, A95) → B95
  98. Element(l2, A96) → B96
  99. Element(l2, A97) → B97
  100. Element(l2, A98) → B98
  101. Element(l2, A99) → B99
  102. Element(l2, A100) → B100
  103. Element(l2, A101) → B101
  104. Element(l2, A102) → B102
  105. Element(l2, A103) → B103
  106. Element(l2, A104) → B104
  107. Element(l2, A105) → B105
  108. Element(l2, A106) → B106
  109. Element(l2, A107) → B107
  110. Element(l2, A108) → B108
  111. Element(l2, A109) → B109
  112. Element(l2, A110) → B110
  113. Element(l2, A111) → B111
  114. Element(l2, A112) → B112
  115. Element(l2, A113) → B113
  116. Element(l2, A114) → B114
  117. Element(l2, A115) → B115
  118. Element(l2, A116) → B116
  119. Element(l2, A117) → B117
  120. Element(l2, A118) → B118
  121. Element(l2, A119) → B119
  122. Element(l2, A120) → B120
  123. Element(l2, A121) → B121
  124. Element(l2, A122) → B122
  125. Element(l2, A123) → B123
  126. Element(l2, A124) → B124
  127. Element(l2, A125) → B125
  128. Element(l2, A126) → B126
  129. Element(l2, A127) → B127
  130. Element(l2, A128) → B128
  131. Element(l2, A129) → B129
  132. Element(l2, A130) → B130
  133. Element(l2, A131) → B131
  134. Element(l2, A132) → B132
  135. Element(l2, A133) → B133
  136. Element(l2, A134) → B134
  137. Element(l2, A135) → B135
  138. Element(l2, A136) → B136
  139. Element(l2, A137) → B137
  140. Element(l2, A138) → B138
  141. Element(l2, A139) → B139
  142. Element(l2, A140) → B140
  143. Element(l2, A141) → B141
  144. Element(l2, A142) → B142
  145. Element(l2, A143) → B143
  146. Element(l2, A144) → B144
  147. Element(l2, A145) → B145
  148. Element(l2, A146) → B146
  149. Element(l2, A147) → B147
  150. Element(l2, A148) → B148
  151. Element(l2, A149) → B149
  152. Element(l2, A150) → B150
  153. Element(l2, A151) → B151
  154. Element(l2, A152) → B152
  155. Element(l2, A153) → B153
  156. Element(l2, A154) → B154
  157. Element(l2, A155) → B155
  158. Element(l2, A156) → B156
  159. Element(l2, A157) → B157
  160. Element(l2, A158) → B158
  161. Element(l2, A159) → B159
  162. Element(l2, A160) → B160
  163. Element(l2, A161) → B161
  164. Element(l2, A162) → B162
  165. Element(l2, A163) → B163
  166. Element(l2, A164) → B164
  167. Element(l2, A165) → B165
  168. Element(l2, A166) → B166
  169. Element(l2, A167) → B167
  170. Element(l2, A168) → B168
  171. Element(l2, A169) → B169
  172. Element(l2, A170) → B170
  173. Element(l2, A171) → B171
  174. Element(l2, A172) → B172
  175. Element(l2, A173) → B173
  176. Element(l2, A174) → B174
  177. Element(l2, A175) → B175
  178. Element(l2, A176) → B176
  179. Element(l2, A177) → B177
  180. Element(l2, A178) → B178
  181. Element(l2, A179) → B179
  182. Element(l2, A180) → B180
  183. Element(l2, A181) → B181
  184. Element(l2, A182) → B182
  185. Element(l2, A183) → B183
  186. Element(l2, A184) → B184
  187. Element(l2, A185) → B185
  188. Element(l2, A186) → B186
  189. Element(l2, A187) → B187
  190. Element(l2, A188) → B188
  191. Element(l2, A189) → B189
  192. Element(l2, A190) → B190
  193. Element(l2, A191) → B191
  194. Element(l2, A192) → B192
  195. Element(l2, A193) → B193
  196. Element(l2, A194) → B194
  197. Element(l2, A195) → B195
  198. Element(l2, A196) → B196
  199. Element(l2, A197) → B197
  200. Element(l2, A198) → B198
  201. Element(l2, A199) → B199
  202. Element(l2, A200) → B200
  203. Element(l2, A201) → B201
  204. Element(l2, A202) → B202
  205. Element(l2, A203) → B203
  206. Element(l2, A204) → B204
  207. Element(l2, A205) → B205
  208. Element(l2, A206) → B206
  209. Element(l2, A207) → B207
  210. Element(l2, A208) → B208
  211. Element(l2, A209) → B209
  212. Element(l2, A210) → B210
  213. Element(l2, A211) → B211
  214. Element(l2, A212) → B212
  215. Element(l2, A213) → B213
  216. Element(l2, A214) → B214
  217. Element(l2, A215) → B215
  218. Element(l2, A216) → B216
  219. Element(l2, A217) → B217
  220. Element(l2, A218) → B218
  221. Element(l2, A219) → B219
  222. Element(l2, A220) → B220
  223. Element(l2, A221) → B221
  224. Element(l2, A222) → B222
  225. Element(l2, A223) → B223
  226. Element(l2, A224) → B224
  227. Element(l2, A225) → B225
  228. Element(l2, A226) → B226
  229. Element(l2, A227) → B227
  230. Element(l2, A228) → B228
  231. Element(l2, A229) → B229
  232. Element(l2, A230) → B230
  233. Element(l2, A231) → B231
  234. Element(l2, A232) → B232
  235. Element(l2, A233) → B233
  236. Element(l2, A234) → B234
  237. Element(l2, A235) → B235
  238. Element(l2, A236) → B236
  239. Element(l2, A237) → B237
  240. Element(l2, A238) → B238
  241. Element(l2, A239) → B239
  242. Element(l2, A240) → B240
  243. Element(l2, A241) → B241
  244. Element(l2, A242) → B242
  245. Element(l2, A243) → B243
  246. Element(l2, A244) → B244
  247. Element(l2, A245) → B245
  248. Element(l2, A246) → B246
  249. Element(l2, A247) → B247
  250. Element(l2, A248) → B248
  251. Element(l2, A249) → B249
  252. Element(l2, A250) → B250
  253. Element(l2, A251) → B251
  254. Element(l2, A252) → B252
  255. Element(l2, A253) → B253
  256. Element(l2, A254) → B254
  257. Element(l2, A255) → B255
  258. Element(l2, A256) → B256
  259. Element(l2, A257) → B257
  260. Element(l2, A258) → B258
  261. Element(l2, A259) → B259
  262. Element(l2, A260) → B260
  263. Element(l2, A261) → B261
  264. Element(l2, A262) → B262
  265. Element(l2, A263) → B263
  266. Element(l2, A264) → B264
  267. Element(l2, A265) → B265
  268. Element(l2, A266) → B266
  269. Element(l2, A267) → B267
  270. Element(l2, A268) → B268
  271. Element(l2, A269) → B269
  272. Element(l2, A270) → B270
  273. Element(l2, A271) → B271
  274. Element(l2, A272) → B272
  275. Element(l2, A273) → B273
  276. Element(l2, A274) → B274
  277. Element(l2, A275) → B275
  278. Element(l2, A276) → B276
  279. Element(l2, A277) → B277
  280. Element(l2, A278) → B278
  281. Element(l2, A279) → B279
  282. Element(l2, A280) → B280
  283. Element(l2, A281) → B281
  284. Element(l2, A282) → B282
  285. Element(l2, A283) → B283
  286. Element(l2, A284) → B284
  287. Element(l2, A285) → B285
  288. Element(l2, A286) → B286
  289. Element(l2, A287) → B287
  290. Element(l2, A288) → B288
  291. Element(l2, A289) → B289
  292. Element(l2, A290) → B290
  293. Element(l2, A291) → B291
  294. Element(l2, A292) → B292
  295. Element(l2, A293) → B293
  296. Element(l2, A294) → B294
  297. Element(l2, A295) → B295
  298. Element(l2, A296) → B296
  299. Element(l2, A297) → B297
  300. Element(l2, A298) → B298
  301. Element(l2, A299) → B299
  302. Element(l2, A300) → B300
  303. Element(l2, A301) → B301
  304. Element(l2, A302) → B302
  305. Element(l2, A303) → B303
  306. Element(l2, A304) → B304
  307. Element(l2, A305) → B305
  308. Element(l2, A306) → B306
  309. Element(l2, A307) → B307
  310. Element(l2, A308) → B308
  311. Element(l2, A309) → B309
  312. Element(l2, A310) → B310
  313. Element(l2, A311) → B311
  314. Element(l2, A312) → B312
  315. Element(l2, A313) → B313
  316. Element(l2, A314) → B314
  317. Element(l2, A315) → B315
  318. Element(l2, A316) → B316
  319. Element(l2, A317) → B317
  320. Element(l2, A318) → B318
  321. Element(l2, A319) → B319
  322. Element(l2, A320) → B320
  323. Element(l2, A321) → B321
  324. Element(l2, A322) → B322
  325. Element(l2, A323) → B323
  326. Element(l2, A324) → B324
  327. Element(l2, A325) → B325
  328. Element(l2, A326) → B326
  329. Element(l2, A327) → B327
  330. Element(l2, A328) → B328
  331. Element(l2, A329) → B329
  332. Element(l2, A330) → B330
  333. Element(l2, A331) → B331
  334. Element(l2, A332) → B332
  335. Element(l2, A333) → B333
  336. Element(l2, A334) → B334
  337. Element(l2, A335) → B335
  338. Element(l2, A336) → B336
  339. Element(l2, A337) → B337
  340. Element(l2, A338) → B338
  341. Element(l2, A339) → B339
  342. Element(l2, A340) → B340
  343. Element(l2, A341) → B341
  344. Element(l2, A342) → B342
  345. Element(l2, A343) → B343
  346. Element(l2, A344) → B344
  347. Element(l2, A345) → B345
  348. Element(l2, A346) → B346
  349. Element(l2, A347) → B347
  350. Element(l2, A348) → B348
  351. Element(l2, A349) → B349
  352. Element(l2, A350) → B350
  353. Element(l2, A351) → B351
  354. Element(l2, A352) → B352
  355. Element(l2, A353) → B353
  356. Element(l2, A354) → B354
  357. Element(l2, A355) → B355
  358. Element(l2, A356) → B356
  359. Element(l2, A357) → B357
  360. Element(l2, A358) → B358
  361. Element(l2, A359) → B359
  362. Element(l2, A360) → B360
  363. Element(l2, A361) → B361
  364. Element(l2, A362) → B362
  365. Element(l2, A363) → B363
  366. Element(l2, A364) → B364
  367. Element(l2, A365) → B365
  368. Element(l2, A366) → B366
  369. Element(l2, A367) → B367
  370. Element(l2, A368) → B368
  371. Element(l2, A369) → B369
  372. Element(l2, A370) → B370
  373. Element(l2, A371) → B371
  374. Element(l2, A372) → B372
  375. Element(l2, A373) → B373
  376. Element(l2, A374) → B374
  377. Element(l2, A375) → B375
  378. Element(l2, A376) → B376
  379. Element(l2, A377) → B377
  380. Element(l2, A378) → B378
  381. Element(l2, A379) → B379
  382. Element(l2, A380) → B380
  383. Element(l2, A381) → B381
  384. Element(l2, A382) → B382
  385. Element(l2, A383) → B383
  386. Element(l2, A384) → B384
  387. Element(l2, A385) → B385
  388. Element(l2, A386) → B386
  389. Element(l2, A387) → B387
  390. Element(l2, A388) → B388
  391. Element(l2, A389) → B389
  392. Element(l2, A390) → B390
  393. Element(l2, A391) → B391
  394. Element(l2, A392) → B392
  395. Element(l2, A393) → B393
  396. Element(l2, A394) → B394
  397. Element(l2, A395) → B395
  398. Element(l2, A396) → B396
  399. Element(l2, A397) → B397
  400. Element(l2, A398) → B398
  401. Element(l2, A399) → B399
  402. Element(l2, A400) → B400
  403. Element(l2, A401) → B401
  404. Element(l2, A402) → B402
  405. Element(l2, A403) → B403
  406. Element(l2, A404) → B404
  407. Element(l2, A405) → B405
  408. Element(l2, A406) → B406
  409. Element(l2, A407) → B407
  410. Element(l2, A408) → B408
  411. Element(l2, A409) → B409
  412. Element(l2, A410) → B410
  413. Element(l2, A411) → B411
  414. Element(l2, A412) → B412
  415. Element(l2, A413) → B413
  416. Element(l2, A414) → B414
  417. Element(l2, A415) → B415
  418. Element(l2, A416) → B416
  419. Element(l2, A417) → B417
  420. Element(l2, A418) → B418
  421. Element(l2, A419) → B419
  422. Element(l2, A420) → B420
  423. Sequence(IntersectPath[p, Element[l2, i]], i, 1, Length[l2]) → l3
  424. Sequence(Polygon[Element[l1, i], Element[l1, i + 1], Element[l1, i + n + 2], Element[l1, i + n + 1]], i, 1, Length[l1]) → l2b
  425. Take(l1, 1, n) → l4
  426. Line(O, zAxis) → f
  427. Sequence(Rotate[O + (R - 0.25, 0, 0), i, f], i, 0, (2 * π), (2 * π / n)) → l5
  428. Polygon(l5) → poly1
  429. Prism(poly1, -3) → d, A, J, arête17, arête18, arête20, arête21, arête22, arête26, arête27, arête30, arête32, arête34, K, arête36, arête38, arête39, arête40, arête41, arête42, arête43, arête44, arête45, arête54, L, arête55, arête56, arête57, arête58, arête59, arêteAB, arêteBC, arêteCD, arêteDE, arêteEF, M, arêteFG, arêteGH, arêteHI, arêteIJ, arêteJK, arêteKL, arêteLM, arêteMN, arêteNP, arêtePQ, N, arêteQS, arêteAS, arête19, arête23, arête24, arête25, arête28, arête29, arête31, arête33, P, arête35, arête37, arête46, arête47, arête48, arête49, arête50, arête51, arête52, arête53, Q, arête60, arête61, arête62, arête63, arête64, arête65, S, T, U, B, V, W, Z, A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1, G_1, C, H_1, I_1, J_1, K_1, L_1, M_1, N_1, O_1, P_1, Q_1, D, R_1, S_1, face1, face3, face4, face5, face6, face7, face8, face9, E, face10, face11, face12, face13, face14, face15, face16, face17, face2, face18, F, face19, face20, face21, face22, face23, face24, face25, face26, face27, face28, G, face29, face30, face31, face32, face33, face34, face35, face36, face37, face38, H, face39, face40, face41, faceABCDEFGHIJKLMNPQS, arête1, arête2, arête3, arête4, arête5, arête6, I, arête7, arête8, arête9, arête10, arête11, arête12, arête13, arête14, arête15, arête16
  430. Polygon(l4) → poly2

AI 绘图提示语参考

在三维空间中构造一个参数化的穹顶或屋顶外轮廓：以一个中心点为基准生成一组点，点的位置由半径R与角度参数n、m共同控制，沿两个角度范围取样形成环状点云；将这些点按顺序连接成封闭的多边形带状面。接着从该带状元素中依次抽取若干关键点（共31个），作为关键顶点/截面轮廓控制点，用于描述屋面边界的离散几何形状。最后用这些轮廓点的集合去组合出3D固体外形，使其体现穹顶或屋顶的体积与参数变化特征。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。