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椭圆台球中的球迹追踪：Math'art 艺术构造

椭圆台球中的球迹追踪：Math'art 艺术构造
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2020-03-12 05:24
数列变换轨迹
该范例演示了在椭圆边界内进行台球式反射时，小球运动轨迹的叠加艺术效果。核心数学概念是椭圆的光学反射性质——从椭圆一个焦点发出的光线经边界反射后必经过另一焦点，以及反射定律在几何作图中的应用。作图要点包括：使用 Ellipse 命令构造椭圆，用 Point 和 PointIn 定义焦点与内部点，通过 Ellipse_Reflect 实现反射变换，再利用 Sequence 和 PolyLine 生成连续轨迹线段，最后用 Vector 辅助表示运动方向。该范例适合高中及以上学段，用于直观理解椭圆焦点性质、反射定律与迭代序列，也可作为数学与艺术融合的创意教学素材。

GeoGebra 命令及参数

  1. Ellipse(F_1, F_2, a / 2) → c
  2. Point(c) → B
  3. PointIn(c) → A
  4. Ellipse_Reflect(c, A1, A2) → A3
  5. Ellipse_Reflect(c, A2, A3) → A4
  6. Ellipse_Reflect(c, A3, A4) → A5
  7. Ellipse_Reflect(c, A4, A5) → A6
  8. Ellipse_Reflect(c, A5, A6) → A7
  9. Ellipse_Reflect(c, A6, A7) → A8
  10. Ellipse_Reflect(c, A7, A8) → A9
  11. Ellipse_Reflect(c, A8, A9) → A10
  12. Ellipse_Reflect(c, A9, A10) → A11
  13. Ellipse_Reflect(c, A10, A11) → A12
  14. Ellipse_Reflect(c, A11, A12) → A13
  15. Ellipse_Reflect(c, A12, A13) → A14
  16. Ellipse_Reflect(c, A13, A14) → A15
  17. Ellipse_Reflect(c, A14, A15) → A16
  18. Ellipse_Reflect(c, A15, A16) → A17
  19. Ellipse_Reflect(c, A16, A17) → A18
  20. Ellipse_Reflect(c, A17, A18) → A19
  21. Ellipse_Reflect(c, A18, A19) → A20
  22. Ellipse_Reflect(c, A19, A20) → A21
  23. Ellipse_Reflect(c, A20, A21) → A22
  24. Ellipse_Reflect(c, A21, A22) → A23
  25. Ellipse_Reflect(c, A22, A23) → A24
  26. Ellipse_Reflect(c, A23, A24) → A25
  27. Ellipse_Reflect(c, A24, A25) → A26
  28. Ellipse_Reflect(c, A25, A26) → A27
  29. Ellipse_Reflect(c, A26, A27) → A28
  30. Ellipse_Reflect(c, A27, A28) → A29
  31. Ellipse_Reflect(c, A28, A29) → A30
  32. Ellipse_Reflect(c, A29, A30) → A31
  33. Ellipse_Reflect(c, A30, A31) → A32
  34. Ellipse_Reflect(c, A31, A32) → A33
  35. Ellipse_Reflect(c, A32, A33) → A34
  36. Ellipse_Reflect(c, A33, A34) → A35
  37. Ellipse_Reflect(c, A34, A35) → A36
  38. Ellipse_Reflect(c, A35, A36) → A37
  39. Ellipse_Reflect(c, A36, A37) → A38
  40. Ellipse_Reflect(c, A37, A38) → A39
  41. Ellipse_Reflect(c, A38, A39) → A40
  42. Ellipse_Reflect(c, A39, A40) → A41
  43. Ellipse_Reflect(c, A40, A41) → A42
  44. Ellipse_Reflect(c, A41, A42) → A43
  45. Ellipse_Reflect(c, A42, A43) → A44
  46. Ellipse_Reflect(c, A43, A44) → A45
  47. Ellipse_Reflect(c, A44, A45) → A46
  48. Ellipse_Reflect(c, A45, A46) → A47
  49. Ellipse_Reflect(c, A46, A47) → A48
  50. Ellipse_Reflect(c, A47, A48) → A49
  51. Ellipse_Reflect(c, A48, A49) → A50
  52. Ellipse_Reflect(c, A49, A50) → A51
  53. Sequence(Cell[1, i], i, 1, floor(n) + 1) → list1
  54. PolyLine(list1) → b
  55. Vector(Element[list1, floor(n) + 1], P) → u
  56. Ellipse_Reflect(c, A50, A51) → A52
  57. Ellipse_Reflect(c, A51, A52) → A53
  58. Ellipse_Reflect(c, A52, A53) → A54
  59. Ellipse_Reflect(c, A53, A54) → A55
  60. Ellipse_Reflect(c, A54, A55) → A56
  61. Ellipse_Reflect(c, A55, A56) → A57
  62. Ellipse_Reflect(c, A56, A57) → A58
  63. Ellipse_Reflect(c, A57, A58) → A59
  64. Ellipse_Reflect(c, A58, A59) → A60
  65. Ellipse_Reflect(c, A59, A60) → A61
  66. Ellipse_Reflect(c, A60, A61) → A62
  67. Ellipse_Reflect(c, A61, A62) → A63
  68. Ellipse_Reflect(c, A62, A63) → A64
  69. Ellipse_Reflect(c, A63, A64) → A65
  70. Ellipse_Reflect(c, A64, A65) → A66
  71. Ellipse_Reflect(c, A65, A66) → A67
  72. Ellipse_Reflect(c, A66, A67) → A68
  73. Ellipse_Reflect(c, A67, A68) → A69
  74. Ellipse_Reflect(c, A68, A69) → A70
  75. Ellipse_Reflect(c, A69, A70) → A71
  76. Ellipse_Reflect(c, A70, A71) → A72
  77. Ellipse_Reflect(c, A71, A72) → A73
  78. Ellipse_Reflect(c, A72, A73) → A74
  79. Ellipse_Reflect(c, A73, A74) → A75
  80. Ellipse_Reflect(c, A74, A75) → A76
  81. Ellipse_Reflect(c, A75, A76) → A77
  82. Ellipse_Reflect(c, A76, A77) → A78
  83. Ellipse_Reflect(c, A77, A78) → A79
  84. Ellipse_Reflect(c, A78, A79) → A80
  85. Ellipse_Reflect(c, A79, A80) → A81
  86. Ellipse_Reflect(c, A80, A81) → A82
  87. Ellipse_Reflect(c, A81, A82) → A83
  88. Ellipse_Reflect(c, A82, A83) → A84
  89. Ellipse_Reflect(c, A83, A84) → A85
  90. Ellipse_Reflect(c, A84, A85) → A86
  91. Ellipse_Reflect(c, A85, A86) → A87
  92. Ellipse_Reflect(c, A86, A87) → A88
  93. Ellipse_Reflect(c, A87, A88) → A89
  94. Ellipse_Reflect(c, A88, A89) → A90
  95. Ellipse_Reflect(c, A89, A90) → A91
  96. Ellipse_Reflect(c, A90, A91) → A92
  97. Ellipse_Reflect(c, A91, A92) → A93
  98. Ellipse_Reflect(c, A92, A93) → A94
  99. Ellipse_Reflect(c, A93, A94) → A95
  100. Ellipse_Reflect(c, A94, A95) → A96
  101. Ellipse_Reflect(c, A95, A96) → A97
  102. Ellipse_Reflect(c, A96, A97) → A98
  103. Ellipse_Reflect(c, A97, A98) → A99
  104. Ellipse_Reflect(c, A98, A99) → A100
  105. Ellipse(F_1 - (0.25, 0), F_2 + (0.25, 0), (a + 1.5) / 2) → d