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埃拉托色尼筛法的几何可视化：椭圆与数列交织筛选质数

埃拉托色尼筛法的几何可视化：椭圆与数列交织筛选质数
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2023-03-19 01:11
函数数列解析几何概率统计几何作图
所属专题 geometriadinamica.es
本范例通过动态几何与数列构造，把“埃拉托色尼筛法”在几何/函数层面的筛选过程可视化。核心概念包括：质数筛选思想、数列（Sequence）生成、坐标几何表示点与曲线，以及用几何对象（如椭圆、旋转角与线段）关联到筛选结果。作图要点：使用 Ellipse 生成椭圆基准曲线，再用 Point 与 Element 搭建关键点集合；通过 Sequence 生成候选索引/参数序列（用于逐步标记与筛选）；用 CurveCartesian 在笛卡尔坐标下绘制对应关系曲线；再用 Segment 连接与刻画相关结构；必要时引入 Angle/旋转量（如 zAngRot）与参数对象（如 p、h0、L、m2、m3、m5…）来驱动“筛”的几何位置更新，最终得到多个标记对象（如 primo 与各 picXX'）来呈现被筛出的质数位置。适合中学高年级到大学通识的数学可视化、数论入门与 GeoGebra 几何建模教学，也适合作为学习“从算法到图形”的实验案例。

GeoGebra 命令及参数

  1. Ellipse((-6.62, 5), (-5.38, 5), 0.65) → zElipse1
  2. Point(zElipse1) → XY
  3. CurveCartesian(((3 * cos(t)) * sin(zAngRot)) + ((3 * sin(t)) * cos(zAngRot)), (tan(p / 30) * t) + 5, t, (-34 * p), 0) → h0
  4. Sequence(h0(((-i) * p / 3)), i, 0, 98) → L
  5. Sequence(Circle[h0(((-i) * p / 3)) + (0.19, 0.1), h0(((-i) * p / 3))], i, 0, 98) → L1
  6. Element(L1, 2) → p01
  7. Element(L1, 3) → p02
  8. Element(L1, 5) → p03
  9. Element(L1, 7) → p04
  10. Element(L1, 11) → p05
  11. Element(L1, 13) → p06
  12. Element(L1, 17) → p07
  13. Element(L1, 19) → p08
  14. Element(L1, 23) → p09
  15. Element(L1, 29) → p10
  16. Element(L1, 31) → p11
  17. Element(L1, 37) → p12
  18. Element(L1, 41) → p13
  19. Element(L1, 43) → p14
  20. Element(L1, 47) → p15
  21. Element(L1, 53) → p16
  22. Element(L1, 59) → p17
  23. Element(L1, 61) → p18
  24. Element(L1, 67) → p19
  25. Element(L1, 71) → p20
  26. Element(L1, 73) → p21
  27. Element(L1, 79) → p22
  28. Element(L1, 83) → p23
  29. Element(L1, 89) → p24
  30. Element(L1, 97) → p25
  31. Element(L1, 10) → m502
  32. Element(L1, 15) → m503
  33. Element(L1, 20) → m504
  34. Element(L1, 25) → m505
  35. Element(L1, 30) → m506
  36. Element(L1, 35) → m507
  37. Element(L1, 40) → m508
  38. Element(L1, 45) → m509
  39. Element(L1, 50) → m510
  40. Element(L1, 55) → m511
  41. Element(L1, 60) → m512
  42. Element(L1, 65) → m513
  43. Element(L1, 70) → m514
  44. Element(L1, 75) → m515
  45. Element(L1, 80) → m516
  46. Element(L1, 85) → m517
  47. Element(L1, 90) → m518
  48. Element(L1, 95) → m519
  49. Element(L1, 14) → m702
  50. Element(L1, 21) → m703
  51. Element(L1, 28) → m704
  52. Element(L1, 35) → m705
  53. Element(L1, 42) → m706
  54. Element(L1, 49) → m707
  55. Element(L1, 56) → m708
  56. Element(L1, 63) → m709
  57. Element(L1, 70) → m710
  58. Element(L1, 77) → m711
  59. Element(L1, 84) → m712
  60. Element(L1, 91) → m713
  61. Element(L1, 98) → m714
  62. Element(L1, 22) → m112
  63. Element(L1, 33) → m113
  64. Element(L1, 44) → m114
  65. Element(L1, 55) → m115
  66. Element(L1, 66) → m116
  67. Element(L1, 77) → m117
  68. Element(L1, 88) → m118
  69. Element(L1, 99) → m119
  70. Segment(h0(((-p)) / 3) + (0.2, -0.12), h0((-97 * p / 3)) + (0.2, -1)) → s2a
  71. Segment(h0((-p)) + (0.2, 0.1), h0((-93 * p / 3)) + (0.2, -1)) → s2b
  72. Segment(h0((-5 * p / 3)) + (0.15, 0.1), h0((-95 * p / 3)) + (0.15, -1)) → s2c
  73. Segment(h0((-2 * p / 3)) + (0.2, -0.12), h0((-98 * p / 3)) + (0.2, -1)) → s3a
  74. Segment(h0((-5 * p / 3)) + (0.2, 0.1), h0((-95 * p / 3)) + (0.2, -1)) → s3b
  75. CurveCartesian(0.2 + ((3 * cos(t + p)) * sin(zAngRot)) + ((3 * sin(t)) * cos(zAngRot)), (tan(27.7°) * t) + 10.7, t, (-11 * p), (-11 * p / 3) - 0.1) → h5
  76. CurveCartesian(0.2 + ((3 * cos(t)) * sin(zAngRot)) + ((3 * sin(t)) * cos(zAngRot)), (tan(36.4°) * t) + 13.7, t, (-17 * p / 2), (-4 * p) - 0.1) → h7
  77. CurveCartesian(0.2 + ((3 * cos(t + p)) * sin(zAngRot)) + ((3 * sin(t)) * cos(zAngRot)), (tan(49°) * t) + 17.2, t, (-33 * p / 5), (-11 * p / 3) - 0.1) → h11
  78. Ellipse((-3, 5.5), (3.4, 5.5), 3.21) → base

AI 绘图提示语参考

在笛卡尔坐标系中绘制一个椭圆作为基准，然后基于一个旋转角度参数和多个序列参数，生成一系列圆，这些圆的中心位于椭圆上，并随着序列索引变化位置。用不同颜色或样式标记出序列中特定索引的圆（如第2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97索引的圆），并用线段连接这些特殊圆，展示质数筛选的过程，其中质数对应的圆用一种颜色或样式突出显示。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。