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定积分数值近似：左右/中点与梯形法的几何演示

定积分数值近似：左右/中点与梯形法的几何演示
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2020-09-10 04:28
函数数列微积分积分函数图像
该范例通过函数曲线下方面积的几何分割，演示定积分的数值近似如何由不同求和策略（左端点、右端点、中点、梯形）得到。核心数学概念包括：定积分的几何意义、黎曼和（Riemann sum）、区间分割与步长 dx、以及梯形法等数值积分思想。作图要点是把区间[a,b]离散成等宽子区间并生成对应矩形/梯形：利用 GeoGebra 的 Function 创建被积函数 f 或 g，借助 Sequence 生成分割点 xx、再由 Sum 形成求和表达式，使用 Integral 与相关对象（如 text2 标注）组织结果展示；同时用 If 与 LeftSum 区分左右端点求和策略，并通过创建矩形集合（如 mptrects、pts、list1/list2/list3）实现中点采样点 xmidpts、ymidpts 与图形叠加；梯形可由 traps 及其几何对象 c/d 等进行可视化，配合输入框 inputBox1 与 n、dx 控制分割精度。适合高中到大学初阶微积分课程中的定积分概念理解、数值计算入门与课堂演示。

GeoGebra 命令及参数

  1. Function(f, x(A), x(B)) → g
  2. Sequence(a + (k * dx), k, 0, n) → xx
  3. Sequence(a + (k / 2 * dx), k, 1, (2 * n) - 1, 2) → xmidpts
  4. Sequence(f(Element[xmidpts, k]), k, 1, n) → ymidpts
  5. Sequence(Polygon[(Element[xx, k], 0), (Element[xx, k + 1], 0), (Element[xx, k + 1], Element[ymidpts, k]), (Element[xx, k], Element[ymidpts, k])], k, 1, n) → mptrects
  6. Sum(mptrects) → c
  7. Integral(f, a, b) → d
  8. Sequence(Polygon[(Element[xx, k], 0), (Element[xx, k + 1], 0), (Element[xx, k + 1], f(Element[xx, k + 1])), (Element[xx, k], f(Element[xx, k]))], k, 1, n) → traps
  9. Sequence((Element[xx, k], f(Element[xx, k])), k, 1, n + 1) → pts
  10. Sequence(FitPoly[{Element[pts, k], Element[pts, k + 1], Element[pts, k + 2]}, 2], k, 1, n - 1, 2) → list1
  11. Sequence(Integral[Element[list1, (k + 1) / 2], Element[xx, k], Element[xx, k + 2]], k, 1, n - 1, 2) → list2
  12. Textfield(f) → inputBox1
  13. If(h ≟ true, e = false) → j
  14. If(h ≟ true, i = false) → k
  15. If(h ≟ true, e = false) → l
  16. If(h ≟ true, i = false) → m
  17. If(h ≟ true, e = false) → o
  18. If(h ≟ true, i = false) → p
  19. If(h ≟ true, e = false) → q
  20. If(h ≟ true, i = false) → r
  21. If(h ≟ true, e = false) → s
  22. If(h ≟ true, i = false) → t
  23. If(h ≟ true, e = false) → u
  24. If(h ≟ true, i = false) → v
  25. If(h ≟ true, e = false) → w
  26. If(h ≟ true, i = false) → z
  27. Sequence(Segment[(a + (k * dx), 0), (a + (k * dx), f(a + (k * dx)))], k, 1, n, 2) → list3
  28. LeftSum(f, x(A), x(B), n) → a_1
  29. Sequence(Polygon[(Element[xx, k], 0), (Element[xx, k + 1], 0), (Element[xx, k + 1], f(Element[xx, k + 1])), (Element[xx, k], f(Element[xx, k + 1]))], k, 1, n) → rightsum
  30. Textfield(a) → inputBox2
  31. Textfield(b) → inputBox3

AI 绘图提示语参考

在区间[a,b]上绘制函数f(x)的曲线，并将其划分为n个等宽子区间。在每个子区间上，用左端点构造矩形，用右端点构造矩形，用中点构造矩形，以及用梯形构造梯形。所有矩形和梯形都绘制在曲线下方，形成一组近似面积。图形中还标出精确积分值，并显示左、右端点黎曼和与中点近似、梯形法的面积对比。通过调整a、b和n，可以直观看到近似值如何随划分细化而接近精确值。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。