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广义均值与梯形：几何不等式可视化

广义均值与梯形：几何不等式可视化
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2016-02-14 04:34
多边形函数不等式几何作图滑块动画
该范例通过GeoGebra动态几何环境，直观展示了梯形中广义均值（如算术平均、几何平均、调和平均等）之间的不等式关系。核心数学概念包括广义均值（幂平均）、梯形几何性质、不等式证明以及圆锥曲线（如双曲线）在均值表示中的应用。作图要点：利用GeoGebra的RotateText、Line、Point、Polygon、If、Intersect、Midpoint、Segment等命令，构造了梯形ABCD及其对角线、中点、平行线等辅助元素，并定义了多个均值点（如k_H、k_G、k_Q）和单位圆、幂函数曲线，通过滑块或参数动态调整，观察不同均值在梯形中的位置关系。适合高中及以上学段的学生学习不等式、均值定理和几何代数综合应用，也可用于教师课堂演示或数学探究活动。

GeoGebra 命令及参数

  1. RotateText("uStas\;\&\;Т.С.", 90*°) → надпись01
  2. Line(K + (0, 8), Line[K, L]) → cd
  3. Point(cd) → M
  4. Polygon(K, L, M, N) → s1, KL, LM, MN, NK
  5. If(NM ≠ 0, 1 / qq, 0) → k_G
  6. Intersect(Line[K, N], Line[L, M]) → O
  7. Midpoint(K, N) → A
  8. Midpoint(L, M) → B
  9. Segment(A, B) → a
  10. If(NM ≠ 9, Dilate[N, k_H, O], A) → N'_2
  11. If(NM ≠ 9, Dilate[M, k_H, O], B) → M'_2
  12. Segment(N'_2, M'_2) → h
  13. If(NM ≠ 9, Dilate[N, k_G, O], A) → N'
  14. If(NM ≠ 9, Dilate[M, k_G, O], B) → M'
  15. Segment(N', M') → g
  16. If((NM ≠ 0) ∧ (NM ≠ 9), Dilate[N, k_Q, O], If[NM ≟ 0, Dilate[K, k_Q, O], A]) → N'_1
  17. If((NM ≠ 0) ∧ (NM ≠ 9), Dilate[M, k_Q, O], If[NM ≟ 0, Dilate[L, k_Q, O], B]) → M'_1
  18. Segment(N'_1, M'_1) → q
  19. Segment(K, M) → e
  20. Segment(L, N) → f
  21. Intersect(e, f) → H
  22. Polygon(K, L, M'_1, N'_1) → s2, k, l, m'_1, n'_1
  23. Polygon(N'_1, M'_1, M, N) → s3, n'_2, m'_2, m, n