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勾股树分形：利用宏与变换构造的几何递归

勾股树分形：利用宏与变换构造的几何递归
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2021-01-26 12:43
多边形角变换几何作图
所属专题 Pythagoras Fractal Trees constructions
该范例通过递归生成“勾股树”分形图形，展示由直角三角形不断分割与缩放所形成的自相似结构。核心数学概念包括勾股定理的几何落实、三角形的角度与长度关系、以及基于参数/随机或可控量的递归生成分形。构造上，使用 GeoGebra 的 Polygon 绘制初始多边形/三角形框架，借助 Point 与 Vertex 确定各顶点位置；用 Centroid 与 Translate 实现基于质心的定位与平移变换；利用 Length、Angle 计算边长与旋转所需角度，从而得到后续每一步的旋转与缩放方向。对象层面可见 A、B、C、D 等几何点、side 作为边长度量、angL/angR 与 sL/sR 控制左右分支的角度与缩放量，并通过 button 与 n 等交互对象驱动递归层数/参数变化。适合中学竞赛与高校初等几何、分形几何的教学演示，适用于引导学生理解“勾股定理→直角结构→自相似分形”的构造思想，并结合滑块/层数动画观察形态演化。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon(A, B, 4) → s, f, g, h, i, C, D
  2. Centroid(s) → C0
  3. Vertex(s, 3) → VC
  4. Vertex(s, 4) → VD
  5. Point(Semicircle[VD, VC]) → F
  6. Centroid(Polygon[F, VC, 4]) → CR
  7. Centroid(Polygon[VD, F, 4]) → CL
  8. Length(Segment[VD, F]) → dL
  9. Length(Segment[VC, F]) → dR
  10. Angle(F, VC, VD) → angR
  11. Angle(VC, VD, F) → angL
  12. Translate(Rotate[Dilate[s, dR / side, C0], (-angR), C0], Vector[C0, CR]) → sR
  13. Translate(Rotate[Dilate[s, dL / side, C0], angL, C0], Vector[C0, CL]) → sL

AI 绘图提示语参考

绘制一个基于毕达哥拉斯定理的分形树。首先，使用四个点A、B、C、D构造一个四边形s，然后找到其重心C0。接着，确定s的第三个和第四个顶点VC和VD。在VD和VC之间画一个半圆，并找到其圆心F。计算F到VD和VC的距离dL和dR，以及角度angL和angR。通过旋转和缩放s，生成新的四边形sL和sR，分别放置在VD和VC周围。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。