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富科摆的三维旋转演示：地球自转与摆平面进动

富科摆的三维旋转演示：地球自转与摆平面进动
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2024-10-14 20:32
向量立体几何变换几何作图滑块动画
所属专题 The Domain of the Time (intuitive kinematics)
本范例演示富科摆在不同纬度下的摆动平面缓慢旋转（进动）现象，通过几何与参数化方式在三维空间中可视化地球自转对摆面方向的影响。核心数学概念包括：向量在空间中的旋转、角度与法向方向的变化、切线/切平面几何关系、以及由参数（纬度/时间）驱动的运动轨迹；同时体现微分思想在“随时间变化的角度与方向”上的建模。作图要点：使用 Sphere 构造地球模型；Vector、Point、Segment 组织摆球与方向；Circle 与 Tangent 结合建立相关圆与切线/相切关系；UnitVector 与 Rotate 实现旋转变换；通过 OrthogonalPlane 构造与当前方向正交的平面并用 Intersect 得到交点；再用 Sequence 与 PolyLine 生成时间序列下的方向折线/轨迹，并借助动画参数 α、t0、t1、dt、tt 与速度、比例尺度等对象进行动态演示（如 latA、lonA、dir、velocidad、esfera、merA、tanA、uA、cirF、M、h、g、动画开关 reinicia、anima）。适合初高中进阶科学课、大学基础数学/计算机几何课程，用于讲解空间变换、向量旋转与参数驱动的物理数学建模。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sphere((0, 0, 0), (0.999 * 5)) → tierra
  2. Vector((1; (-rot) + 180°; (-inclinacion))) → dir
  3. Sphere((0, 0, 0), 5) → esfera
  4. Circle(PS, (5; arg(A); 0°), PN) → merA
  5. Tangent(A, merA) → tanA,
  6. UnitVector(tanA) → uA
  7. Rotate(A + uA, ((-k) * f), A, dirA) → B
  8. UnitVector(dirA) → u
  9. Circle(O, (0.994 * 2), nF) → cirF
  10. Point(cirF) → M
  11. Segment(O, M) → h
  12. UnitVector((O - M) ⊗ nF) → n
  13. Sequence(Rotate[A + (r * uA), (k * 15°), A, dirA], k, 0, 23) → HorasF
  14. Rotate(reg, f, PN) → reg1
  15. Rotate(A, α, O, nF) → A1
  16. OrthogonalPlane(A, dirA) → planoA
  17. PolyLine(reg1) → pol
  18. Circle(A, 0.2, dirA) → c
  19. Intersect(Segment[M - dirA, M], planoA) → M'
  20. Intersect(Segment[A1 - dirA, A1], planoA) → A1'
  21. Circle((0, 0, 0), 5, Line[PS, PN]) → ecuador
  22. Rotate(A, (-α), O, nF) → A2
  23. Intersect(Segment[A2 - dirA, A2], planoA) → A2'
  24. Segment(A, If[op1a, A2' + (0.02 * UnitVector[A2' - A]), A1' + (0.02 * UnitVector[A1' - A])]) → i

AI 绘图提示语参考

绘制一个3D球体代表地球，球体中心为原点，半径为5。从球体中心出发，绘制一个指向地球表面的向量，表示摆锤的方向。围绕地球中心旋转向量，模拟地球自转对摆锤平面的影响。创建一个与向量垂直的平面，并在该平面上绘制一系列圆，表示地球上的经线和纬线。使用旋转和平移命令，模拟摆锤在地球表面的运动轨迹，最终生成一个随时间变化的轨迹线。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。