积极 AI Logo 积极 AI

正五边形面积公式探索

正五边形面积公式探索
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2016-03-17 02:37
圆多边形三角函数几何作图滑块动画
所属专题 Perimeter & Area Perimeter & Area Unit 11: Extending Perimeter, Circumference, and Area
这个范例演示了学生如何通过另一种方法发现正多边形面积公式（此例中n=5，即正五边形）。①该范例通过动态演示正五边形与外接圆的关系，引导学生推导面积公式；②涉及的核心数学概念包括正多边形、外接圆、中心角、三角函数等；③作图要点使用了Polygon（多边形）、Circle（圆）、Center（中心）、Rotate（旋转）、Vector（向量）、Translate（平移）、Midpoint（中点）、Dilate（缩放）、Segment（线段）、Angle（角度）等GeoGebra命令；④适合高中数学学生，用于理解和探索正多边形面积公式的推导过程。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon(A, B_1, 5) → poly1, a, b, c, d, e, C, D, E
  2. Circle(A, B_1, C) → f
  3. Center(f) → F_1
  4. Polygon(A, B_1, F_1) → poly_1, f_1, a_1, b_1
  5. Rotate(A, 72°, F_1) → A'
  6. Rotate(B_1, 72°, F_1) → B'
  7. Rotate(F_1, 72°, F_1) → F'
  8. Polygon(A', B', F') → poly2', f', a', b'
  9. Rotate(A', 72°, F_1) → A''
  10. Rotate(B', 72°, F_1) → B''
  11. Rotate(F', 72°, F_1) → F''
  12. Polygon(A'', B'', F'') → poly2'', f'', a'', b''
  13. Rotate(A'', 72°, F_1) → A'''
  14. Rotate(B'', 72°, F_1) → B'''
  15. Rotate(F'', 72°, F_1) → F'''
  16. Polygon(A''', B''', F''') → poly2''', f''', a''', b'''
  17. Rotate(A''', 72°, F_1) → G
  18. Rotate(B''', 72°, F_1) → H
  19. Rotate(F''', 72°, F_1) → I
  20. Polygon(G, H, I) → poly3, i, g, h
  21. Rotate(A', If[0 < j < 1, (((-j) * 72))°, -72°], B_1) → A''_1
  22. Rotate(B', If[0 < j < 1, (((-j) * 72))°, -72°], B_1) → B''_1
  23. Rotate(F', If[0 < j < 1, (((-j) * 72))°, -72°], B_1) → F_2
  24. Polygon(A''_1, B''_1, F_2) → poly_2, f''_1, a''_1, b''_1
  25. Rotate(A'', If[0 < j < 1, (((-j) * 144))°, -144°], B_1) → A'''_1
  26. Rotate(B'', If[0 < j < 1, (((-j) * 144))°, -144°], B_1) → B'''_1
  27. Rotate(F'', If[0 < j < 1, (((-j) * 144))°, -144°], B_1) → F'''_1
  28. Rotate(A'', If[0 < j < 1, (((-j) * 144))°, -144°], B''_1) → A'''_2
  29. Rotate(B'', If[0 < j < 1, (((-j) * 144))°, -144°], B''_1) → B'''_2
  30. Rotate(F'', If[0 < j < 1, (((-j) * 144))°, -144°], B''_1) → F'''_2
  31. Vector(C, B''_1) → u
  32. Translate(A'', u) → A'''_3
  33. Translate(B'', u) → B'''_3
  34. Translate(F'', u) → F'''_3
  35. Polygon(A'''_3, B'''_3, F'''_3) → poly2'''_2, f'''_3, a'''_3, b'''_3
  36. Rotate(A'''_3, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 72))°, -72°], B''_1) → J
  37. Rotate(B'''_3, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 72))°, -72°], B''_1) → K
  38. Rotate(F'''_3, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 72))°, -72°], B''_1) → L
  39. Rotate(A'''_3, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 144))°, -144°], B''_1) → M
  40. Rotate(B'''_3, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 144))°, -144°], B''_1) → N
  41. Rotate(F'''_3, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 144))°, -144°], B''_1) → F_3
  42. Polygon(M, N, F_3) → poly_3, o, m, n
  43. Midpoint(A, B_1) → P
  44. Dilate(F_1, If[-1 < j ≤ 0, (-j), 0], P) → F'_1
  45. Segment(F_1, F'_1) → k
  46. Angle(B_1, P, F_1) → α
  47. Vector(D, N) → v
  48. Translate(A''', v) → Q
  49. Translate(B''', v) → R
  50. Translate(F''', v) → S
  51. Polygon(Q, R, S) → poly5, s, q_1, r_1
  52. Rotate(Q, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 216))°, -216°], N) → Q'
  53. Rotate(R, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 216))°, -216°], N) → R'
  54. Rotate(S, If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 216))°, -216°], N) → F_4
  55. Polygon(Q', R', F_4) → poly_4, s', q', r'
  56. Vector(E, R') → w
  57. Translate(G, w) → G'
  58. Translate(H, w) → H'
  59. Translate(I, w) → I'
  60. Polygon(G', H', I') → poly3', i', g', h'
  61. Rotate(G', If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 288))°, -288°], R') → G''
  62. Rotate(H', If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 288))°, -288°], R') → H''
  63. Rotate(I', If[0 < j ≤ 1, (((-j) * 288))°, -288°], R') → F_5
  64. Polygon(G'', H'', F_5) → poly_5, i'', g'', h''
  65. Segment(A, H'') → l
  66. Midpoint(A, H'') → V
  67. Rotate(Q', 180°, V) → Q''
  68. Rotate(R', 180°, V) → B
  69. Rotate(F_4, 180°, V) → S''
  70. Rotate(Q', 180°, F_4) → Q''_1
  71. Rotate(R', 180°, F_4) → R''_1
  72. Rotate(F_4, 180°, F_4) → S''_1
  73. Rotate(A, (((-(j - 1)) * 180))°, F_1) → A'_1
  74. Rotate(B_1, (((-(j - 1)) * 180))°, F_1) → B'_1
  75. Rotate(F_1, (((-(j - 1)) * 180))°, F_1) → F
  76. Polygon(A'_1, B'_1, F) → poly2, f_2, a'_1, b'_1
  77. Rotate(A''_1, (((-(j - 1)) * 180))°, F_2) → O
  78. Rotate(B''_1, (((-(j - 1)) * 180))°, F_2) → T
  79. Rotate(F_2, (((-(j - 1)) * 180))°, F_2) → U
  80. Polygon(O, T, U) → poly4, u_1, o_1, t
  81. Rotate(M, (((-(j - 1)) * 180))°, F_3) → M'
  82. Rotate(N, (((-(j - 1)) * 180))°, F_3) → N'
  83. Rotate(F_3, (((-(j - 1)) * 180))°, F_3) → W
  84. Polygon(M', N', W) → poly6, w_1, m', n'
  85. Rotate(Q', (((-(j - 1)) * 180))°, F_4) → Q''_2
  86. Rotate(R', (((-(j - 1)) * 180))°, F_4) → R''_2
  87. Rotate(F_4, (((-(j - 1)) * 180))°, F_4) → Z
  88. Polygon(Q''_2, R''_2, Z) → poly7, z_1, q''_2, r''_2
  89. Rotate(G'', (((-(j - 1)) * 180))°, F_5) → G'''
  90. Rotate(H'', (((-(j - 1)) * 180))°, F_5) → H'''
  91. Rotate(F_5, (((-(j - 1)) * 180))°, F_5) → A_1
  92. Polygon(G''', H''', A_1) → poly8, a_2, g''', h'''
  93. Dilate(F_1, If[2 < j ≤ 3, 3 - j, 0], A) → C_1
  94. Dilate(F_2, If[2 < j ≤ 3, 3 - j, 0], B) → D_1
  95. Dilate(F_3, If[2 < j ≤ 3, 3 - j, 0], M) → E_1
  96. Dilate(F_4, If[2 < j ≤ 3, 3 - j, 0], N) → G_1
  97. Dilate(F_5, If[2 < j ≤ 3, 3 - j, 0], R') → H_1
  98. Vector(F_1, C_1) → v_1
  99. Vector(F_2, D_1) → v_2
  100. Vector(F_3, E_1) → v_3
  101. Vector(F_4, G_1) → v_4
  102. Vector(F_5, H_1) → v_5
  103. Rotate(A, 180°, F_1) → A'_2
  104. Rotate(B_1, 180°, F_1) → I_1
  105. Rotate(F_1, 180°, F_1) → J_1
  106. Polygon(A'_2, I_1, J_1) → poly9, j_1, a'_2, i_1
  107. Rotate(A''_1, 180°, F_2) → K_1
  108. Rotate(B''_1, 180°, F_2) → L_1
  109. Rotate(F_2, 180°, F_2) → M_1
  110. Polygon(K_1, L_1, M_1) → poly10, m_1, k_1, l_1
  111. Rotate(M, 180°, F_3) → M'_1
  112. Rotate(N, 180°, F_3) → N'_1
  113. Rotate(F_3, 180°, F_3) → N_1
  114. Polygon(M'_1, N'_1, N_1) → poly11, n_1, m'_1, n'_1
  115. Rotate(Q', 180°, F_4) → Q''_3
  116. Rotate(R', 180°, F_4) → R''
  117. Rotate(F_4, 180°, F_4) → O_1
  118. Polygon(Q''_3, R'', O_1) → poly12, o_2, q''_3, r''
  119. Rotate(G'', 180°, F_5) → G'''_1
  120. Rotate(H'', 180°, F_5) → H'''_1
  121. Rotate(F_5, 180°, F_5) → P_1
  122. Polygon(G'''_1, H'''_1, P_1) → poly13, p_1, g'''_1, h'''_1
  123. Translate(A'_2, v_1) → Q_1
  124. Translate(I_1, v_1) → R_1
  125. Translate(J_1, v_1) → S_1
  126. Polygon(Q_1, R_1, S_1) → poly9', s_1, q_2, r_2
  127. Translate(K_1, v_2) → T_1
  128. Translate(L_1, v_2) → U_1
  129. Translate(M_1, v_2) → V_1
  130. Polygon(T_1, U_1, V_1) → poly10', v_6, t_1, u_2
  131. Translate(M'_1, v_3) → W_1
  132. Translate(N'_1, v_3) → Z_1
  133. Translate(N_1, v_3) → A_2
  134. Polygon(W_1, Z_1, A_2) → poly11', a_3, w_2, z_2
  135. Translate(Q''_3, v_4) → B_2
  136. Translate(R'', v_4) → R'''
  137. Translate(O_1, v_4) → C_2
  138. Polygon(B_2, R''', C_2) → poly12', c_2, b_2, r'''
  139. Translate(G'''_1, v_5) → D_2
  140. Translate(H'''_1, v_5) → E_2
  141. Translate(P_1, v_5) → G_2
  142. Polygon(D_2, E_2, G_2) → poly13', g_2, d_2, e_2
  143. Segment(R_1, A) → p
  144. Segment(R_1, F_5) → c_1
  145. Segment(F_5, H'') → d_1