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曲线滑梯：正方形截面与多项式回归

曲线滑梯：正方形截面与多项式回归
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2020-01-29 19:41
函数立体几何微积分积分变换
该范例展示了一个沿曲线路径滑动的三维立体，其截面为正方形，通过动态滑块控制多项式回归曲线，直观呈现立体几何与微积分中截面法的思想。核心数学概念包括多项式拟合、曲线参数化、三维空间中的平移与旋转、以及黎曼和（上下和）的几何可视化。作图要点：使用FitPoly命令对点集进行多项式回归生成曲线，通过PointIn、Point、Plane、Segment、Surface等命令构造三维框架，利用Rotate、Mirror、Translate实现正方形截面的定位与对称，CurveCartesian定义曲线路径，Polygon与Angle辅助构建截面形状，滑块n控制截面数量，体现极限与积分逼近过程。适合高中至大学阶段学习立体几何、微积分初步或数学建模的学生，也可用于教师演示截面法求体积或曲线拟合的直观教学。

GeoGebra 命令及参数

  1. PointIn(y > 0) → A
  2. PointIn(y > 0) → B
  3. PointIn(y > 0) → C
  4. PointIn(y > 0) → D
  5. PointIn(y > 0) → E
  6. FitPoly({A, B, C, D, E}, n) → f
  7. Rotate(If[Min[l1] ≤ x ≤ Max[l1], f], π / 2, xAxis) → h_1
  8. Point(h_1) → F
  9. Rotate(G, π / 2, xAxis) → G'
  10. Plane(G, G + (0, 1, 0), G + (0, 0, 1)) → p
  11. Segment(G', H) → g
  12. Surface(u, (-ra) + ((2 * ra) * v), f(u), u, Min[l1], Max[l1], v, 0, 1) → d
  13. Mirror(H, G') → H'
  14. Segment(H, H') → k
  15. CurveCartesian(u, ra, f(u), u, Min[l1], Max[l1]) → b
  16. CurveCartesian(u, (-ra), f(u), u, Min[l1], Max[l1]) → c
  17. Segment(M, J) → q
  18. Segment(J, N) → r
  19. Segment(O, L) → a
  20. Segment(L, K) → f_1
  21. CurveCartesian(u, ra, f(u) + (2 * ra), u, Min[l1], Max[l1]) → e
  22. CurveCartesian(u, (-ra), f(u) + (2 * ra), u, Min[l1], Max[l1]) → u
  23. Surface(u, ra, f(u) + ((2 * ra) * v), u, Min[l1], Max[l1], v, 0, 1) → j
  24. Surface(u, (-ra), f(u) + ((2 * ra) * v), u, Min[l1], Max[l1], v, 0, 1) → i
  25. Translate(d, Vector[(0, 0, (2 * ra))]) → d'
  26. Translate(M, Vector[(0, 0, (2 * ra))]) → M'
  27. Segment(M', M) → s
  28. Translate(J, Vector[(0, 0, (2 * ra))]) → J'
  29. Segment(M', J') → l
  30. Segment(P, O) → t
  31. Segment(P, K) → g_1
  32. Translate(H, Vector[(0, 0, (2 * ra))]) → H'_2
  33. Translate(H', Vector[(0, 0, (2 * ra))]) → H''_2
  34. Polygon(H, H'_2, H''_2, H') → q1, h_3, h'_2, h''_2, i_1
  35. Segment(H, H'_2) → j_1
  36. Segment(H'_2, H''_2) → k_1
  37. Segment(H''_2, H') → l_1
  38. Angle(H'_2, H, H') → α
  39. Angle(H''_2, H'_2, H) → β
  40. Angle(H', H''_2, H'_2) → γ
  41. Angle(H, H', H''_2) → δ