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立方体最短路径：展开图与立体图上的两点间最短路

立方体最短路径：展开图与立体图上的两点间最短路
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2018-06-26 13:34
多边形立体几何变换最值优化几何作图
① 本范例演示了在立方体表面上，两个相邻面上的点之间的最短路径，并同时展示在立体图和展开图（net）上，直观对比路径在三维与二维展开中的对应关系。② 核心数学概念包括立体几何中的表面最短路径问题、展开图（net）的构造、对称性以及路径在展开后变为直线段的原理。③ 作图要点：使用GeoGebra的Cube命令创建立方体，通过Point和PointIn在面上取点，利用Intersect和IntersectPath计算路径与棱的交点，用Segment绘制路径线段，并用Polygon和Plane构造各面，最终通过展开图（net）的复制展示路径。④ 适合中学高年级至大学低年级学生，用于理解立体几何中表面最短路径的求解方法，以及展开图在解决三维问题中的重要作用。

GeoGebra 命令及参数

  1. Intersect(yAxis, zAxis) → A
  2. Point(xAxis) → B
  3. Point(Circle[B, Distance[A, B], Segment[A, B]]) → C
  4. Cube(A, B, C) → a, D, faceCDHG, faceEFGH, edgeAD, edgeAB, edgeBC, edgeCD, edgeAE, edgeDH, edgeEH, edgeEF, E, edgeBF, edgeFG, edgeCG, edgeGH, F, G, H, faceABCD, faceADHE, faceABFE, faceBCGF
  5. PointIn(faceEFGH) → I
  6. PointIn(faceABFE) → J
  7. OrthogonalPlane(J, edgeEF) → b
  8. OrthogonalPlane(I, edgeEF) → c
  9. Intersect(edgeEF, b) → K
  10. Intersect(edgeEF, c) → L
  11. OrthogonalPlane(J, edgeBF) → d
  12. IntersectPath(c, d) → e
  13. OrthogonalPlane(I, edgeFG) → f_1
  14. IntersectPath(f_1, d) → g
  15. Intersect(e, faceABFE) → M
  16. Segment(J, M) → h
  17. Segment(M, L) → i
  18. Segment(L, I) → j
  19. Vector(L, K) → u
  20. Segment(J, N) → k
  21. Segment(N, I) → l
  22. Polygon(B, A, 4, xOyPlane) → poly1, m, n, p, q, f, P
  23. Polygon(P, f, 4, xOyPlane) → poly2, r, s, t, a_1, O, Q
  24. Polygon(A, D, 4, xOyPlane) → poly3, b_1, c_1, d_1, e_1, R, S
  25. Polygon(C, B, 4, xOyPlane) → poly4, g_1, h_1, i_1, j_1, T, U
  26. Polygon(D, C, 4, xOyPlane) → poly5, k_1, l_1, m_1, n_1, V, W
  27. Circle(edgeAB, J) → q_1
  28. Intersect
  29. Intersect(xOyPlane, q_1) → C_1, D_1
  30. Circle(edgeEF, I) → p_1
  31. Plane(A, E, F) → o
  32. Intersect(o, p_1) → Z, A_1
  33. Circle(edgeAB, A_1) → r_1
  34. Intersect(xOyPlane, r_1) → B_1, E_1
  35. Segment(D_1, E_1) → s_1