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保角映射可视化：用样条与向量刻画局部角度保持

保角映射可视化：用样条与向量刻画局部角度保持
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2024-10-24 11:01
角向量复数变换几何作图
所属专题 Complex Analysis: A visual and interactive introduction
本范例演示如何通过保角映射把平面曲线与网格在两种坐标/几何形态之间进行对应变换，同时直观观察角度保持与局部形状的变化。核心数学概念包括复数形式下的保角映射、局部同胚与角度保持（通过角度对象比较映射前后）、以及由控制点构造的曲线（如样条）。作图要点：使用 GeoGebra 的 Spline 生成构造曲线（如 a 与相关样条段）、Point 建立关键点，Segment 与 OrthogonalLine 辅助确定边界与垂线方向；通过 Vector 与 Angle 计算/标注映射前后方向关系；结合 Translate、Intersect 完成几何对象的平移与交点求取；并生成多个中间对象（如 A1~A4、U1/V1、u1/v1 等成对变量点，Z1~Z3、X1~X3 等）来对照“源域—像域”的对应结构。适合高中到大学预科层次的复分析入门、可视化数学课程，或课堂中用来辅助讲解保角映射的几何意义与作图思想。

GeoGebra 命令及参数

  1. Spline({A1, A2, A3, A4}, 3) → a
  2. Vector(A1, U1) → u1
  3. Point(a, t) → M
  4. Vector(A4, U2) → u2
  5. Vector(A1, V1) → v1
  6. Vector(A4, V2) → v2
  7. Spline({A, B, C}, 3) → b
  8. Spline({D, E, F, G}, 3) → c
  9. Spline({H, I, J}, 3) → d
  10. Spline({K, L, N, O}, 3) → e
  11. Spline({Z1, Z2, Z3}, 3) → s1
  12. Spline({X1, X2, X3, X4}, 3) → s2
  13. Intersect(s1, s2, 0, 1) → Q
  14. Translate(Vector[(u1 * (1 - t)) + (t * u2)], Q) → u
  15. Translate(Vector[(v1 * (1 - t)) + (t * v2)], Q) → v
  16. Angle(u, v) → alpha1
  17. Angle(u1, v1) → alpha2
  18. Spline({P, R, S, T, U, V, W, P}, 3) → f
  19. Spline({Z, A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1, G_1, H_1, Z}, 3) → g
  20. Segment(R1, R2) → seg1
  21. Segment(R3, R4) → seg2
  22. Segment(R5, R6) → seg3
  23. Segment(R7, R8) → seg4
  24. OrthogonalLine(I_1, xAxis) → h

AI 绘图提示语参考

展示一个共形映射可视化图形，包含由样条曲线定义的参考曲线，以及通过向量和角度测量方向变化的点。图形中展示源域和目标域的几何结构，使用线段和正交线支持布局。构造顺序为：先创建样条曲线作为参考，再定义关键点，然后绘制向量和角度，最后通过平移和交点对比源域与目标域的几何关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。