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构建正方形工作坊：从点、多边形到镜像与角平分线的几何探索

构建正方形工作坊：从点、多边形到镜像与角平分线的几何探索
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2017-11-04 08:02
多边形角解析几何变换几何作图
所属专题 Elementary Geometry
本范例演示了如何通过GeoGebra的几何作图工具逐步构建一个正方形及其相关图形，并利用镜像、角平分线等变换生成丰富的对称结构。核心数学概念包括正方形的性质、轴对称、角平分线、相似变换以及坐标几何中的点与多边形关系。作图要点从构造摘要中提炼：使用Point命令创建关键点A_1至D_1，通过Polygon命令生成正方形poly4，再运用Mirror命令对边或对角线进行镜像，得到对称图形；同时使用LineBisector命令构造角平分线，并基于这些线生成新的点（如E_1至J_1）和多边形（如poly5），最终形成包含多个子对象（如a_1至r_1）的复杂几何网络。该范例适合初中至高中阶段学生学习几何作图、对称变换和坐标几何，也可用于教师课堂演示，帮助学生直观理解正方形与等边三角形、相似变换等概念的关联。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(Circle[A_1, 3]) → B_1
  2. Polygon(A_1, B_1, C_1, D_1) → q2, a_1, b_1, c_1, d_1
  3. Point(Circle[E_1, 3]) → F_1
  4. Polygon(E_1, F_1, G_1, H_1, I_1, J_1) → poly4, e_1, f_1, g_1, h_1, i_1, j_1
  5. Point(Circle[K_1, 4]) → L_1
  6. Polygon(K_1, L_1, M_1, N_1, O_1, P_1, Q_1, R_1) → poly5, k_1, l_1, m_1, n_1, o_1, p_1, q_1, r_1
  7. Point(Circle[S_1, 5]) → T_1
  8. Polygon(S_1, T_1, U_1, V_1, W_1, Z_1, A_2, B_2) → poly6, s_1, t_1, u_1, v_1, w_1, z_2, a_2, b_2
  9. Point(Circle[C_2, 3]) → D_2
  10. Polygon(C_2, D_2, E_2, F_2, G_2, H_2, I_2, J_2) → poly7, c_2, d_2, e_2, f_2, g_2, h_2, i_2, j_2
  11. Point(Circle[A, 1]) → B
  12. Polygon(A, B, C, D) → q1, a, b, c, d
  13. Point(Circle[E, 1]) → F
  14. Polygon(E, F, G, H, I, J) → poly1, e, f, g, h, i, j
  15. Point(Circle[K, 2]) → L
  16. Polygon(K, L, M, N, O, P) → poly2, k, l, m, n, o, p
  17. Point(Circle[Q, 3]) → R
  18. Polygon(Q, R, S, T, U, V, W, Z) → poly3, q, r, s, t, u, v, w, z_1
  19. Mirror(E, j) → E'
  20. Mirror(G, j) → G'
  21. Mirror(H, j) → H'
  22. Mirror(I, j) → I'
  23. Mirror(J, j) → J'
  24. Mirror(K, n) → K'
  25. Mirror(L, n) → L'
  26. Mirror(M, n) → M'
  27. Mirror(N, n) → N'
  28. Mirror(O, n) → O'
  29. Mirror(P, n) → P'
  30. Polygon(K', L', M', N', O', P') → poly2', k', l', m', n', o', p'
  31. LineBisector(E_1, F_1) → k_2
  32. Mirror(E_1, k_2) → K_2
  33. Mirror(F_1, k_2) → L_2
  34. Mirror(G_1, k_2) → M_2
  35. Mirror(H_1, k_2) → N_2
  36. Mirror(I_1, k_2) → O_2
  37. Mirror(J_1, k_2) → P_2
  38. Polygon(K_2, L_2, M_2, N_2, O_2, P_2) → poly4', k_3, l_2, m_2, n_2, o_2, p_2
  39. Mirror(K_1, n_1) → Q_2
  40. Mirror(L_1, n_1) → R_2
  41. Mirror(M_1, n_1) → S_2
  42. Mirror(N_1, n_1) → T_2
  43. Mirror(O_1, n_1) → U_2
  44. Mirror(P_1, n_1) → V_2
  45. Mirror(Q_1, n_1) → W_2
  46. Mirror(R_1, n_1) → Z_2
  47. Polygon(Q_2, R_2, S_2, T_2, U_2, V_2, W_2, Z_2) → poly5', q_2, r_2, s_2, t_2, u_2, v_2, w_2, z_3
  48. LineBisector(S_1, T_1) → f_3
  49. Mirror(S_1, f_3) → A_3
  50. Mirror(T_1, f_3) → B_3
  51. Mirror(U_1, f_3) → C_3
  52. Mirror(V_1, f_3) → D_3
  53. Mirror(W_1, f_3) → E_3
  54. Mirror(Z_1, f_3) → F_3
  55. Mirror(A_2, f_3) → G_3
  56. Mirror(B_2, f_3) → H_3
  57. Polygon(A_3, B_3, C_3, D_3, E_3, F_3, G_3, H_3) → poly6', a_3, b_3, c_3, d_3, e_3, f_4, g_3, h_3
  58. LineBisector(C_2, D_2) → i_3
  59. Mirror(C_2, i_3) → I_3
  60. Mirror(D_2, i_3) → J_3
  61. Mirror(E_2, i_3) → K_3
  62. Mirror(F_2, i_3) → L_3
  63. Mirror(G_2, i_3) → M_3
  64. Mirror(H_2, i_3) → N_3
  65. Mirror(I_2, i_3) → O_3
  66. Mirror(J_2, i_3) → P_3
  67. Polygon(I_3, J_3, K_3, L_3, M_3, N_3, O_3, P_3) → poly7', i_4, j_3, k_4, l_3, m_3, n_3, o_3, p_3