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{4,6}正四六镶嵌的动态几何构造

{4,6}正四六镶嵌的动态几何构造
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2025-08-19 02:03
所属专题 Teselaciones regulares
该范例演示如何在GeoGebra中动态生成{4,6}类型的规则镶嵌图案：在平面上不断以圆与多边形几何关系扩展，形成类似环绕与拼接的周期结构。核心数学概念包括圆的交点与外接圆弧、相似三角形与几何约束、以及参数化构造与序列迭代生成镶嵌单元。作图要点来源于构造摘要所用命令：使用“Circle”生成圆，“Intersect”求圆的交点，“Sequence”产生迭代点列；用“Polygon”与“Flatten”组织并铺展镶嵌所需的多边形面片；通过“CircumcircleArc”生成外接圆弧并用“Join”连接元素；同时配合“If”实现条件分支以控制起始/重置与动画节奏。适合中学高年级到大学的几何建模与可视化教学，也适合作为算法化几何构造、参数方程/序列驱动建图的扩展练习。

GeoGebra 命令及参数

  1. Circle((0, 0), 1) → c
  2. Intersect(Circle[((1 - (sin(pi / p) / cos(pi / q))^(2))^(-1 / 2), 0), ((cos(pi / q) / sin(pi / p))^(2) - 1)^(-1 / 2)], Ray[(0, 0), Rotate[(1, 0), pi / p]], 1) → P0
  3. Sequence(Rotate[P0, ((k * 2) * pi / p)], k, 0, p - 1) → V
  4. Circle(Mirror[V(p), c], V(p), V(1)) → hc1
  5. Polygon(pV) → actualp
  6. Flatten(Join[{{Vac(p)}, {Vac \ {Vac(p)}}}]) → Vacp
  7. Flatten(Join[{{Vac \ {Vac(1)}}, {Vac(1)}}]) → Vac2
  8. Intersect(hc1, Ray[(V(1) + V(p)) / 2, (0, 0)]) → V0,
  9. CircumcircleArc(V(p), V0, V(1)) → arcoCelda
  10. Join(Sequence[Rotate[Sequence[Point[arcoCelda, s], s, 0, 0.9, 0.1], ((2 * k) * pi / p)], k, 0, p - 1]) → celda0
  11. Polygon(celda0) → pol
  12. Sequence({Vac(k), q - 1, ncActual}, k, 3, p - 1) → Vplus
  13. If(floor(p / 2) ≠ p / 2 ∧ q ≟ 3, 4, floor(q / 2) ≟ q / 2, 2, 3) → nc
  14. Sequence({V(k), q - 1, 0}, k, 1, p) → vert0
  15. Flatten(Join[{{Vac \ {Vac(1), Vac(2)}}, {Vac(1), Vac(2)}}]) → Vac2'
  16. Flatten(Join[{{Vac(p - 1), Vac(p)}, {Vac \ {Vac(p - 1), Vac(p)}}}]) → Vacp'