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阿基米德弦圈线：用焦点与椭圆构造的几何轨迹

阿基米德弦圈线：用焦点与椭圆构造的几何轨迹
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2023-11-27 12:41
圆向量几何作图轨迹
所属专题 Conic Section Collection
该范例演示“弦圈线”（Trammel of Archimedes）的形成过程：通过两条椭圆/圆系的交点轨迹得到一条由圆锥曲线几何约束的闭合曲线。核心数学概念包括：弦圈线的几何性质、焦点与轨迹（locus）的关系、椭圆/圆的几何构造，以及向量与坐标参数化表达（含单位向量与距离约束）。作图要点可从构造摘要提炼为：使用Vector、UnitVector生成方向与移动向量；用Circle、Ellipse、Line、Ray、Segment以及Point、Midpoint等对象搭建基础几何；借助DynamicCoordinates实现交互参数/动态定位；通过Distance形成长度或约束条件；利用CurveCartesian、DynamicCoordinates得到轨迹曲线；并通过foci、rot1等对象体现与焦点相关的参数化与旋转变换。适合高中数学拓展、大学几何作图课或数学可视化教学，用于讲解轨迹曲线、圆锥曲线与几何变换的可视化构造。

GeoGebra 命令及参数

  1. Vector((l1 / 2, h1 / 2)) → p1'
  2. Vector((214, 0)) → q1'
  3. UnitVector(xAxis) → X
  4. Circle(O, r) → d
  5. Point(d) → R'
  6. Vector(O, R') → u
  7. UnitVector(u) → u'
  8. Vector((prp * u)) → v
  9. UnitVector(v) → v'
  10. Line(O, u') → i
  11. Ray(O, Vector[UnitVector[u]]) → h
  12. Segment(O, S') → g
  13. Point(h) → S
  14. Segment(O - u, O + u) → ax1
  15. Segment(O - v, O + v) → ax2
  16. Segment(A, B) → AB
  17. Midpoint(A, B) → M
  18. Circle(M, A) → k_1
  19. UnitVector(Vector[O, N]) → n'
  20. DynamicCoordinates(N, x(W), y(W)) → C
  21. Distance(C, N) → CN
  22. Vector(O, W) → z
  23. UnitVector(Vector[B, W]) → v2'
  24. Vector((62.5, 38.5)) → p3'
  25. Segment(dartA, dartB) → j
  26. Point(j) → E
  27. Segment(dartA, E) → drtLen
  28. Ellipse(F_1, F_2, P) → e
  29. CurveCartesian(x(O + (k * ((cos(t) * u) + (sin(t) * v)) / sqrt(1 + (ζ * (sin(t))^(2))))), y(O + (k * ((cos(t) * u) + (sin(t) * v)) / sqrt(1 + (ζ * (sin(t))^(2))))), t, tmin, tmax) → b

AI 绘图提示语参考

画出阿基米德拱锥三线弦曲线：给定一个中心点O以及两条相互垂直的方向基向量u、v，用它们在平面中描述参数运动。先确定一个圆的圆心O和半径，标出圆上点R，并用以O为起点指向该点的向量得到u，再构造与其不同方向的单位向量v。以两方向确定一组穿过O的直线与参考线段，取中点构造圆用于辅助视觉。随后给定两个焦点F_1、F_2与一个沿参数变化的点P，让参数t控制点在由u、v张成的方向组合上的位置，并用焦点与约束关系形成闭合的三线弦轨迹；用曲线渲染参数曲线，在t的范围内描出该闭合locus。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。