相关变化率（3）：圆锥容器注水与排水问题

几何画板及绘图内容加载中，请稍等……

2016-10-18 10:05

本范例演示一个动态的圆锥容器注水或排水问题，通过滑块控制水位高度，实时显示水面半径、体积以及体积对时间的变化率。核心数学概念是相关变化率（Related Rates），属于微分几何与微积分的交叉应用，涉及圆锥体积公式 V=(1/3)πr²h 对时间的隐式求导，以及相似三角形在比例关系中的应用。作图要点：使用 GeoGebra 的 Cone 命令创建三维圆锥，Polygon 和 Segment 构建截面与辅助线，Angle 和 Distance 测量角度与距离，Translate 实现对象平移，Textfield 提供交互输入，并通过滑块（隐含）驱动动态变化。适合高中高年级或大学初学微积分的学生，用于直观理解相关变化率中变量间的联动关系，也可作为教师课堂演示或学生自主探究的素材。

GeoGebra 命令及参数

Cone(B, A, h / 2) → a, c, b
Cone(C, A, 20) → d, e, f
Polygon(A, D, E) → poly1, e_1, a_1, d_1
Polygon(A, F, G) → poly2, g_1, a_2, f_1
Segment(D, E) → i
Angle(A, F, G, xOyPlane) → α
Angle(A, D, E, xOyPlane) → β
Distance(D, E) → distanceDE
Distance(F, G) → distanceFG
Segment(I, D) → j
Translate(A, Vector[(-3, 0)]) → A'
Translate(F, (-3, 0)) → F'
Segment(A', F') → k
Distance(A', F') → distanceA'F'
Distance(I, i) → distanceIi
Textfield(h) → InputBox1