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3-4-5直角三角形的Loyd方形铺构

3-4-5直角三角形的Loyd方形铺构
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2021-02-06 09:23
测试改名0多边形角变换几何作图
该范例演示在3-4-5直角三角形上用Loyd's Squares 的思想进行方形“铺陈”，从而直观观察由相似与比例关系带来的长度对应与面积分解。核心数学概念包括：勾股数（3-4-5直角三角形）、几何构造中的多边形（方形/嵌套方形）、角与旋转/缩放带来的相似几何、以及中点与放缩等变换。作图要点：通过 GeoGebra 的 Point 创建关键点（如三角形顶点与中间构造点），用 Polygon 生成各层方形/多边形区域；Angle 用于确定必要的角度与直角/方向关系；Midpoint 提取边的中点以建立比例或分段构造；Dilate 实现按比例的放缩，将方形从一个尺度映射到另一个尺度；并借助 If 进行分支逻辑控制不同构造情形。对象组织上涉及三角形顶点 A、B、C 及多组多边形 poly1~poly4，以及由缩放/条件生成的辅助点与标注点（如 p、D、H、E、I 等）。适合中学数学几何兴趣拓展、竞赛训练的几何作图课，也适合课堂展示勾股相关的几何验证与相似变换应用。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(xAxis) → A
  2. Point(yAxis) → B
  3. Point(xAxis) → C
  4. Polygon(C, A, 4) → poly1, f, g, h, p, D, H
  5. Polygon(A, B, 4) → poly2, i, j, k, q, E, I
  6. Polygon(B, C, 4) → poly3, l, m, n, r, F, G
  7. Angle(A, B, C) → α
  8. Angle(B, C, A) → β
  9. Angle(C, A, B) → γ
  10. Midpoint(E, A) → J
  11. Midpoint(B, A) → K
  12. Midpoint(E, B) → L
  13. Midpoint(L, E) → M
  14. Midpoint(J, L) → N
  15. Midpoint(J, E) → O
  16. Polygon(M, O, N, J, K, B) → poly4, m_1, o, n_1, j_1, k_1, b
  17. Polygon(M, E, I, A, K, J, N, O) → poly5, m_2, e, i_1, a, k_2, j_2, n_2, o_1
  18. Dilate(C, 2 / 3, D) → C'
  19. Dilate(D, 1 / 3, A) → D'
  20. Dilate(D, 1 / 3, H) → D'_1
  21. Polygon(A, D', C', D'_1, H, C) → poly6, a_1, d', c', d'_1, h_1, c
  22. Polygon(D, D', C', D'_1) → q1, d, s, t, f_1
  23. If(0 < w ≤ 1, Rotate[Polygon[Translate[A, Dilate[H, 1 - w, F] - H], Translate[D', Dilate[H, 1 - w, F] - H], Translate[C', Dilate[H, 1 - w, F] - H], Translate[D'_1, Dilate[H, 1 - w, F] - H], Translate[H, Dilate[H, 1 - w, F] - H], Translate[C, Dilate[H, 1 - w, F] - H]], (w * α), Dilate[H, 1 - w, F]], Rotate[Polygon[Translate[A, F - H], Translate[D', F - H], Translate[C', F - H], Translate[D'_1, F - H], Translate[H, F - H], Translate[C, F - H]], α, F]) → poly7
  24. If(2 < w ≤ 3, Rotate[Polygon[Translate[D, Dilate[C', 3 - w, G] - C'], Translate[D', Dilate[C', 3 - w, G] - C'], Translate[C', Dilate[C', 3 - w, G] - C'], Translate[D'_1, Dilate[C', 3 - w, G] - C']], ((w - 2) * α), Dilate[C', 3 - w, G]], Rotate[Polygon[Translate[D, G - C'], Translate[D', G - C'], Translate[C', G - C'], Translate[D'_1, G - C']], α, G]) → q2
  25. If(4 < w ≤ 5, Rotate[Polygon[Translate[M, Dilate[M, 5 - w, B] - M], Translate[O, Dilate[M, 5 - w, B] - M], Translate[N, Dilate[M, 5 - w, B] - M], Translate[J, Dilate[M, 5 - w, B] - M], Translate[K, Dilate[M, 5 - w, B] - M], Translate[B, Dilate[M, 5 - w, B] - M]], ((w - 4) * α), Dilate[M, 5 - w, B]], Rotate[Polygon[Translate[M, B - M], Translate[O, B - M], Translate[N, B - M], Translate[J, B - M], Translate[K, B - M], Translate[B, B - M]], α, B]) → poly8
  26. If(6 < w ≤ 7, Rotate[Polygon[Translate[M, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[E, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[I, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[A, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[K, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[J, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[N, Dilate[I, 7 - w, C] - I], Translate[O, Dilate[I, 7 - w, C] - I]], ((w - 6) * α), Dilate[I, 7 - w, C]], Rotate[Polygon[Translate[M, C - I], Translate[E, C - I], Translate[I, C - I], Translate[A, C - I], Translate[K, C - I], Translate[J, C - I], Translate[N, C - I], Translate[O, C - I]], α, C]) → poly9

AI 绘图提示语参考

在一个3-4-5直角三角形上构建Loyd的嵌套正方形。首先绘制直角三角形，然后在其三边上分别向外作正方形，接着利用这些正方形和三角形的中点、顶点构建一系列新的嵌套正方形和复杂多边形，展示相似性和比例关系。最后，根据参数w的不同值，对部分图形进行旋转，以展示条件依赖的几何变换。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。