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莫比乌斯变换的几何可视化：圆与角的对应

莫比乌斯变换的几何可视化：圆与角的对应
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2023-03-13 19:35
圆角复数变换几何作图
所属专题 geometriadinamica.es
该范例演示在复平面上使用莫比乌斯（分式线性）变换，将圆与特定圆锥曲线/轨迹映射到新的几何形状，并观察角度与点的对应关系。核心数学概念包括：复数上的分式线性变换、圆（以及直线可视为无穷远点处的圆）的共形性质、角度保持/变换下的几何不变量，以及由映射得到的轨迹或由参数构造的曲线族。作图要点：通过 GeoGebra 的 OrthogonalLine、Circle、Intersect 生成圆与正交线/交点，再用 Ellipse、Angle、Segment 与 Point 组织几何约束与度量；随后借助 CurveCartesian、Sequence、Ray、Polygon 绘制映射后的曲线、点列与连线；命令 invierte（以对象表示为反演/映射起点）、以及 rota（旋转）等用于实现复平面变换流程，并结合已定义的复数对象（如 zz0、zz1、ZZ1…）完成从原点集到像点集的映射；最终将像几何（如 zElipse1、zElipse2、XY、Z 等）叠加显示以便比较。适合高中拔尖、大学预科到本科的复分析/解析几何/几何变换学习中使用，亦适合作为课堂演示或研究型可视化探索。

GeoGebra 命令及参数

  1. OrthogonalLine(C, yAxis) → zz1
  2. Circle(C, 0.62) → zz0
  3. Intersect(zz0, zz1, 1) → ZZ1
  4. Intersect(zz0, zz1, 2) → ZZ2
  5. Ellipse(ZZ1, ZZ2, 0.65) → zElipse1
  6. Intersect(zElipse1, zz1) → ZZ5, ZZ6
  7. Point(zElipse1) → XY
  8. Angle(ZZ6, C, XY) → zAngRot
  9. OrthogonalLine(C, xAxis) → zz2
  10. Intersect(zz0, zz2, 2) → ZZ3
  11. Intersect(zz0, zz2, 1) → ZZ4
  12. Ellipse(ZZ3, ZZ4, 0.65) → zElipse2
  13. Intersect(zElipse2, zz2) → ZZ7, ZZ8
  14. Point(zElipse2) → Z
  15. Angle(ZZ8, C, Z) → zAngInc
  16. Segment(Q5, Q6) → p5
  17. Point(p5) → P5
  18. CurveCartesian(((r * u) * sin(zAngRot)), (r * (((-u) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc))), u, -10, 10) → ejex
  19. CurveCartesian(((r * v) * cos(zAngRot)), (((r * v) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)), v, -10, 10) → ejey
  20. Segment(ZZ5, ZZ6) → zz4
  21. Segment(ZZ7, ZZ8) → zz3
  22. Intersect(zElipse2, zElipse1, 1) → zPunto1
  23. Intersect(zElipse2, zElipse1, 4) → zPunto2
  24. Segment(zPunto1, zPunto2) → zSeg2
  25. Segment(Base, PS) → h'
  26. Circle((PN + PS) / 2, r / 2) → c
  27. Sequence(CurveCartesian[x(Base) + ((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * sr) + ((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * cr), y(Base) - (((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * cr) * sin(zAngInc)) + (((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sr) * sin(zAngInc)) + (((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f) * cos(zAngInc)), v, -1, 1], u, -1, 1, paso) → esfera2
  28. Sequence(CurveCartesian[x(Base) + (((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * sr) + (((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * cr), y(Base) - ((((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * cr) * sin(zAngInc)) + ((((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * sr) * sin(zAngInc)), u, -1, 1], v, -1, 1, paso) → plano1
  29. Sequence(CurveCartesian[x(Base) + (((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * sr) + (((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * cr), y(Base) - ((((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * cr) * sin(zAngInc)) + ((((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * g / (g - ((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f))) * sr) * sin(zAngInc)), v, -1, 1], u, -1, 1, paso) → plano2
  30. Sequence(CurveCartesian[x(Base) + ((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * sr) + ((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * cr), y(Base) - (((r * ((u / (u^(2) + v^(2) + 1) * cos(invierte)) + ((1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)))) * cr) * sin(zAngInc)) + (((r * v / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sr) * sin(zAngInc)) + (((((-r) * u / (u^(2) + v^(2) + 1)) * sin(invierte)) + ((r * (1 / 2 - 1 / (u^(2) + v^(2) + 1))) * cos(invierte)) + f) * cos(zAngInc)), u, -1, 1], v, -1, 1, paso) → esfera1
  31. Ray(PN, PN + (0, 1)) → a
  32. Polygon(P3, P2, PN) → poly1, poly1b, poly1c, poly1a
  33. Polygon(P3, P4, PN) → poly2, poly2b, poly2a, poly2c
  34. Angle(P2, P3, PN) → α
  35. Angle(P3, P4, PN) → β
  36. Polygon(P4, PN, P1) → poly3, poly3c, poly3a, poly3b
  37. Angle(P4, P1, PN) → γ
  38. Polygon(P1, P2, PN) → poly4, poly4b, poly4a, poly4c
  39. Angle(P1, P2, PN) → δ
  40. OrthogonalLine(B, xAxis) → b
  41. OrthogonalLine(B, b) → d

AI 绘图提示语参考

绘制一个莫比乌斯变换下的圆和角度对应关系。首先画出一条水平线和一条垂直线，然后以一个圆心为中心画一个圆，接着找到圆与垂直线的交点，构造一个椭圆并找到其与垂直线的交点。通过旋转和角度测量，展示变换后的角度关系，并绘制一系列曲线和多边形来表示变换后的几何图形。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。