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矩形纸板折叠最大化体积的几何建模与微积分优化

矩形纸板折叠最大化体积的几何建模与微积分优化
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2016-11-01 15:51
立体几何导数最值优化几何作图
本范例演示从矩形纸板折叠成无盖长方体盒子的过程，旨在寻找体积最大化的条件。涉及立体几何、函数建模、导数求极值、相似三角形等核心数学概念。作图要点包括利用 GeoGebra 的函数、线段、旋转、交点、角度、多边形、导数、根及最小值命令构建动态模型，直观展示变量关系。适合高中数学教学或微积分初学者，用于直观理解优化问题，辅助课堂演示与自主探究。

GeoGebra 命令及参数

  1. Function(((x * (length - (2 * x))) * (width - (2 * x))), 0, Vright) → V
  2. Segment(B, C) → b
  3. Rotate(B, α, A) → B'
  4. Line(B', A) → s
  5. Line(Ax, s) → s1
  6. Segment(A, B) → a
  7. Line(C, a) → r
  8. Intersect(s, r) → D
  9. Line(Dy, r) → r1
  10. Intersect(r1, b) → Cy
  11. Segment(Dy, Cy) → c1
  12. Segment(C, D) → c
  13. Intersect(s1, c) → Dx
  14. Segment(Ax, Dx) → d1
  15. Intersect(d1, c1) → D1
  16. Line(B, s) → q
  17. Line(Bx, q) → q1
  18. Intersect(q1, c) → Cx
  19. Segment(Bx, Cx) → b1
  20. Intersect(b1, c1) → C1
  21. Line(A, B) → p
  22. Line(Ay, p) → p1
  23. Intersect(p1, b) → By
  24. Segment(Ay, By) → a1
  25. Intersect(d1, a1) → A1
  26. Intersect(b1, a1) → B1
  27. Angle(B, A, B') → β
  28. Segment(D, A) → d
  29. Polygon(A1, A2a, B2a, B1) → poly1, e, f, g, h_1
  30. Polygon(B1, B2b, C2b, C1) → poly2, i, j, k, l
  31. Polygon(C1, C2c, D2c, D1) → poly3, c_1, d_1, e_1, f_1
  32. Polygon(D1, D2d, A2d, A1) → poly4, m, n, a_1, b_1
  33. Derivative(V) → Vder
  34. Root(Vder) → tMax_1, tMax_2
  35. Min(x(tMax_1), x(tMax_2)) → tMax
  36. Segment(tMax_1, P) → g_1