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用二次多项式在六角与三角晶格上构造离散网络

用二次多项式在六角与三角晶格上构造离散网络
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2020-08-13 17:12
多边形函数数列变换几何作图
该范例展示如何在六角与三角晶格的离散点上，用二次多项式生成并刻画多边形/网络结构（包含连线与分段变化）。核心数学概念包括：二次函数（degree two polynomial）的离散取值、几何变换与相似性（用于把局部结构映射到不同位置）、以及由离散序列驱动的迭代构造；同时也涉及对多边形顶点与边的连续性/反射等几何规律的观察。作图要点可从构造摘要提炼为：使用 Sequence 生成离散索引与参数（对象如 n、u、t1、A、T、B 等），用 Polygon 依据生成的点序列搭建多边形与网络单元（对象如 poly1、L_1、L_2、L_3），并借助 Flatten 将嵌套的点/线结构展平成可视化所需的列表（对象如 flT、flH、fpT、fpH、H、T）。适合中学高年级至大学入门课程用于“离散几何可视化、函数与参数化作图、几何变换/相似变换的理解”，也适合作为建模与探索性学习的演示案例。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(Sequence[(k * (2 - u)) + (l * (1 + u)), k, (-n) - 1, n], l, (-n) - 1, n) → T
  2. Polygon(Sequence[u^(k), k, 0, 5]) → poly1
  3. Flatten(T) → flT
  4. Sequence(Join[Sequence[{(k * (2 - u)) + 1 + (l * (1 + u)), (k * (2 - u)) + u + (l * (1 + u))}, k, (-n) - 1, n]], l, (-n) - 1, n) → H
  5. Flatten(H) → flH
  6. Polygon(A, B, 3) → t1, f, g, h, C
  7. Sequence((a * flH(k)^(2)) + (b * flH(k)) + c, k, 1, Length[flH]) → fH
  8. Sequence((a * flT(k)^(2)) + (b * flT(k)) + c, k, 1, Length[flT]) → fT
  9. Sequence(((2 * a) * flT(k)) + b, k, 1, Length[flT]) → fpT
  10. Sequence(((2 * a) * flH(k)) + b, k, 1, Length[flH]) → fpH
  11. Sequence(Translate[Dilate[Rotate[poly1, arg(fpT(k))], (v * abs(fpT(k)))], fT(k)], k, 1, Length[fT]) → L_2
  12. Sequence(Translate[Dilate[Rotate[{t1, Rotate[t1, π]}, arg(fpH(k))], (v * abs(fpH(k)))], fH(k)], k, 1, Length[fH]) → L_3

AI 绘图提示语参考

绘制一个六边形-三角形网络，通过二次多项式函数在格点上生成。首先生成参数列表T，然后绘制一个五边形poly1。接着生成水平和垂直的线段列表flH和flT，再通过变换生成一系列六边形L_2和三角形L_3，最终形成一个复杂的几何网络。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。