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圆柱展开网格的构造：由圆截面与旋转参数生成

圆柱展开网格的构造：由圆截面与旋转参数生成
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2021-01-13 05:12
圆角立体几何变换几何作图
该范例演示如何把圆柱表面展开为平面“展开网格”，并展示圆柱侧面在展开后如何对应到矩形/扇形等结构。核心数学概念包括：圆的周长与展开长度的对应关系、圆的几何性质（圆与圆周）、角度与参数（θ、ϕ 等）驱动的构造、以及平面几何中的线段、相交与正交作辅助线。作图要点：利用 GeoGebra 的 Point、Circle、Cylinder 生成控制点与圆柱模型；用 Intersect 与 Line/OrthogonalLine 得到展开所需的交点与切/垂辅助线；通过 Rotate 实现围绕中心的旋转定位；再用 If 对条件分支进行几何选择；通过 Segment 管理展开边界。对象组织上包含参数变量（如 t、θ、ϕ、r 等）与由它们生成的一系列点与线段（A、B、C、D、E、F 等）。适合中学至大学入门几何教学，用于立体几何展开、圆周测量与几何作图训练，也可作为课堂演示或探索活动。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(yAxis) → A
  2. Point(yAxis) → B
  3. Circle(A, B) → c
  4. Cylinder(c, 3) → b, e, f
  5. Intersect(zAxis, e) → C,
  6. Line(C, xAxis) → a
  7. OrthogonalLine(D, xOyPlane) → g
  8. Circle(g, C) → k
  9. Rotate(Rotate[e, ϕ, a], ϕ, xAxis) → e'
  10. Rotate(Rotate[e, ϕ, a], ϕ, xAxis) → d
  11. Circle(A, B) → h
  12. If(t < 1, ((r * sin((-θ))), ((r * (1 - cos((-θ)))) * cos(ϕ)) - (3 * sin(ϕ)), (3 * cos(ϕ)) + ((r * (1 - cos((-θ)))) * sin(ϕ))), ((-π), (-3 * sin(ϕ)), (3 * cos(ϕ)))) → E
  13. If(t < 1, ((r * sin(θ)), ((r * (1 - cos(θ))) * cos(ϕ)) - (3 * sin(ϕ)), (3 * cos(ϕ)) + ((r * (1 - cos(θ))) * sin(ϕ))), (π, (-3 * sin(ϕ)), (3 * cos(ϕ)))) → F
  14. If(t < 1, ((r * sin((-θ))), ((r * (1 - cos((-θ)))) * cos(ϕ)), ((r * (1 - cos((-θ)))) * sin(ϕ))), (-3.141592653589793, 0, 0)) → G
  15. If(t < 1, ((r * sin(θ)), ((r * (1 - cos(θ))) * cos(ϕ)), ((r * (1 - cos(θ))) * sin(ϕ))), (3.141592653589793, 0, 0)) → H
  16. Segment(E, G) → m
  17. Segment(F, H) → n
  18. Line((0, 1, 0), zAxis) → p
  19. Circle(p, B) → q
  20. Circle(p, B) → s
  21. If(t < 1, Surface[(r * sin((u * θ))), ((r * (1 - cos((u * θ)))) * cos(ϕ)) - (v * sin(ϕ)), (v * cos(ϕ)) + ((r * (1 - cos((u * θ)))) * sin(ϕ)), u, -1, 1, v, 0, 3], Surface[(π * u), ((-v) * sin(ϕ)), (v * cos(ϕ)), u, -1, 1, v, 0, 3]) → i
  22. If(t < 1, CurveCartesian[(r * sin((u * θ))), ((r * (1 - cos((u * θ)))) * cos(ϕ)), ((r * (1 - cos((u * θ)))) * sin(ϕ)), u, -1, 1], CurveCartesian[(π * u), 0, 0, u, -1, 1]) → l
  23. If(t < 1, CurveCartesian[(r * sin((u * θ))), ((r * (1 - cos((u * θ)))) * cos(ϕ)) - (3 * sin(ϕ)), (3 * cos(ϕ)) + ((r * (1 - cos((u * θ)))) * sin(ϕ)), u, -1, 1], CurveCartesian[(π * u), (-3 * sin(ϕ)), (3 * cos(ϕ)), u, -1, 1]) → j

AI 绘图提示语参考

绘制一个圆柱体及其展开的平面网。先画出圆柱的底面圆和侧面，然后通过旋转和投影，将圆柱侧面展开为矩形，底面圆展开为两个圆。在展开过程中，用参数控制展开程度，显示侧面从曲面逐渐变平的过程。同时标出关键点，如圆柱轴上的点、底面圆心，以及展开后矩形的四个顶点。用线段连接展开后的边界，并显示底面圆展开后的位置。整体展示圆柱几何与平面展开之间的对应关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。