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“Cono”圆锥曲线几何构造：双曲线与椭圆的交织轨迹

“Cono”圆锥曲线几何构造：双曲线与椭圆的交织轨迹
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2023-03-15 19:33
圆角函数解析几何几何作图
所属专题 geometriadinamica.es
本范例演示了在几何作图中，通过多条辅助线与圆锥曲线的交点来刻画“Cono”相关的复合图形关系，并展现双曲线与椭圆等曲线的协同定位效果。核心数学概念包括：圆锥曲线（双曲线、椭圆）、角度与旋转（用角与角度旋转控制方向）、坐标几何中的解析曲线（CurveCartesian）、以及由若干几何约束形成的多边形/四边形结构（如一般四边形及其重心思想）。作图要点：范例的构造摘要显示使用了 Segment、Point、OrthogonalLine 构造线段与垂线、Circle 与 Intersect 生成圆与交点，再结合 Ellipse 与 CurveCartesian 生成椭圆及解析曲线；同时用 Angle 与 zAngRot（角度旋转）确定关键方向，用 Sequence 组织参数点或迭代点集；对象链路中包含多组中间点（如 P1/P2/P3/P4、Q1/Q2/Q3/Q4、u1/u2/u10/u20、v1/v2/v10/v20）及计算量“zz*、ZZ*、zElipse1/zElipse2、ZZ5/ZZ6、XY”等，最终合成目标曲线与构型。适合用于中学高年级到大学的解析几何/几何作图课程，亦可作为竞赛几何与 GeoGebra 可视化教学的示例，用于理解圆锥曲线的交汇建模与构造思路。

GeoGebra 命令及参数

  1. Segment(Q3, Q4) → p2
  2. Point(p2) → P3
  3. Segment(P3, Q4) → p4
  4. Point(p4) → P4
  5. Segment(Q1, Q2) → p1
  6. Point(p1) → P1
  7. Segment(P1, Q2) → p3
  8. Point(p3) → P2
  9. OrthogonalLine(C, yAxis) → zz1
  10. Circle(C, 0.62) → zz0
  11. Intersect(zz0, zz1, 1) → ZZ1
  12. Intersect(zz0, zz1, 2) → ZZ2
  13. Ellipse(ZZ1, ZZ2, 0.65) → zElipse1
  14. Intersect(zElipse1, zz1) → ZZ5, ZZ6
  15. Point(zElipse1) → XY
  16. Angle(ZZ6, C, XY) → zAngRot
  17. OrthogonalLine(C, xAxis) → zz2
  18. Intersect(zz0, zz2, 2) → ZZ3
  19. Intersect(zz0, zz2, 1) → ZZ4
  20. Ellipse(ZZ3, ZZ4, 0.65) → zElipse2
  21. Intersect(zElipse2, zz2) → ZZ7, ZZ8
  22. Point(zElipse2) → Z
  23. Angle(ZZ8, C, Z) → zAngInc
  24. Segment(Q5, Q6) → p5
  25. Point(p5) → P5
  26. CurveCartesian((r * (((-0.5 * cos(u)) * sin(zAngRot)) - ((0.5 * sin(u)) * cos(zAngRot)))), (r * ((((0.5 * cos(u)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) - (((0.5 * sin(u)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) - (0.5 * cos(zAngInc)))), u, u1, u2) → curva1A
  27. Segment(ZZ5, ZZ6) → zz4
  28. Segment(ZZ7, ZZ8) → zz3
  29. Intersect(zElipse2, zElipse1, 1) → zPunto1
  30. Intersect(zElipse2, zElipse1, 4) → zPunto2
  31. Segment(zPunto1, zPunto2) → zSeg2
  32. CurveCartesian((r * (((v * cos(α)) * sin(zAngRot)) + ((v * sin(α)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((-v) * cos(α)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((v * sin(α)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (v * cos(zAngInc)))), v, v1, v2) → curva2
  33. Sequence(CurveCartesian[(r * (((v * cos(u)) * sin(zAngRot)) + ((v * sin(u)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((-v) * cos(u)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((v * sin(u)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (v * cos(zAngInc)))), u, u1, u2], v, v1, v2, paso) → list1A
  34. CurveCartesian((r * (((β * cos(u)) * sin(zAngRot)) + ((β * sin(u)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((-β) * cos(u)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((β * sin(u)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (β * cos(zAngInc)))), u, u1, u2) → a1
  35. Sequence(CurveCartesian[(r * (((v * cos(u)) * sin(zAngRot)) + ((v * sin(u)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((-v) * cos(u)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((v * sin(u)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (v * cos(zAngInc)))), v, v1, v2], u, u1, u2, (1.5 * paso)) → list1

AI 绘图提示语参考

绘制一个双曲面和椭圆面的复合图形。首先，通过点Q3和Q4绘制线段p2，并在p2上取点P3。接着，通过P3和Q4绘制线段p4，并在p4上取点P4。类似地，通过Q1和Q2绘制线段p1，并在p1上取点P1。然后，通过P1和Q2绘制线段p3，并在p3上取点P2。接着，构造垂直于y轴的辅助线zz1，并以点C为圆心、半径0.62的圆zz0，然后找到zz0和zz1的交点ZZ1和ZZ2，用它们构造椭圆zElipse1。接着，通过zElipse1和zz1的交点ZZ5和ZZ6，找到点XY，并计算角度zAngRot。再构造垂直于x轴的辅助线zz2，找到zz0和zz2的交点ZZ3和ZZ4，用它们构造椭圆zElipse2。然后，通过zElipse2和zElipse1的交点zPunto1和zPunto2，找到线段zSeg2。最后，通过一系列参数化曲线绘制复合图形。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。