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圆环面积的重排可视化：平均周长乘以厚度

圆环面积的重排可视化：平均周长乘以厚度
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2019-06-11 08:42
圆积分变换几何作图滑块动画
该范例通过动态重排圆环的扇形切片，直观演示圆环面积公式：圆环面积 = 平均周长 × 厚度。核心数学概念是圆环（annulus）的面积计算，以及将环形区域通过切割、翻转、平移重排为近似矩形，从而将面积公式转化为几何直观。作图要点：使用GeoGebra的CircleSector命令生成圆环的扇形切片，通过Sequence创建多个扇形，利用Mirror、Dilate、Translate等变换对切片进行翻转、缩放和平移，配合Circle、Segment、Vector和Point对象构建辅助图形与标注。适合中学几何或微积分入门阶段，用于理解面积公式的推导和积分思想的直观铺垫。

GeoGebra 命令及参数

  1. CircleSector((0, 0), (sin(π / ((2 * n))), cos(π / ((2 * n)))), ((-sin(π / ((2 * n)))), cos(π / ((2 * n))))) → sector
  2. Sequence(CircleSector[(-2, 0), (-2 + cos(((k - 1) * π / n)), sin(((k - 1) * π / n))), (-2 + cos((k * π / n)), sin((k * π / n)))], k, 1, n) → list3
  3. Mirror(list3, xAxis) → list3Flip
  4. Sequence(Translate[sector, Vector[(0, 0), ((((1 + r) * ((2 * k) - 2)) * sin(π / ((2 * n)))), 0)]], k, 1, n) → list1
  5. Dilate(sector, r - 0.02) → sectorOpaque
  6. Sequence(Translate[sectorOpaque, Vector[(0, 0), ((((1 + r) * ((2 * k) - 2)) * sin(π / ((2 * n)))), 0)]], k, 1, n) → list1Opaque
  7. Translate(Mirror[list1, xAxis], Vector[((1 + r) * Vector[(0, 0), (sin(π / ((2 * n))), cos(π / ((2 * n))))])]) → list1Flip
  8. Translate(Mirror[list1Opaque, xAxis], Vector[((1.02 + r) * Vector[(0, 0), (sin(π / ((2 * n))), cos(π / ((2 * n))))])]) → list1OpaqueFlip
  9. Sequence(CircleSector[(-2, 0), (-2 + (r * cos(((k - 1) * π / n))), (r * sin(((k - 1) * π / n)))), (-2 + (r * cos((k * π / n))), (r * sin((k * π / n))))], k, 1, n) → list3Opaque
  10. Mirror(list3Opaque, xAxis) → list3OpaqueFlip
  11. Circle((-2, 0), (1 + r) / 2) → c
  12. Segment(A, B) → mid
  13. Vector(AA, BB) → arrow
  14. Vector(BB, AA) → v
  15. Dilate(CircleArc[(0, 0), (sin(π / ((2 * n))), cos(π / ((2 * n)))), ((-sin(π / ((2 * n)))), cos(π / ((2 * n))))], (1 + r) / 2) → arc
  16. Sequence(Translate[arc, Vector[(0, 0), ((((1 + r) * ((2 * k) - 2)) * sin(π / ((2 * n)))), 0)]], k, 1, n) → midArcsList1
  17. Translate(Mirror[midArcsList1, xAxis], Vector[((1 + r) * Vector[(0, 0), (sin(π / ((2 * n))), cos(π / ((2 * n))))])]) → midArcsList2
  18. Point(c) → C
  19. Vector(O, C) → Rav

AI 绘图提示语参考

绘制一个圆环面积的可视化推导图。先画一个以原点为圆心的扇形，再复制多个扇形并水平平移排列成一行，形成近似矩形的条带。将这一行扇形关于水平轴镜像翻转，并整体平移，与另一组从内圆生成的扇形条带拼接，展示圆环被切割重排为矩形。添加一个半透明的内圆扇形组，以及表示平均半径的辅助圆和箭头，标注厚度与平均周长。用滑块控制扇形数量和内外半径比，动态展示面积等于平均周长乘以厚度。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。