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分形曲线3：迭代旋转与缩放生成的随机分形

分形曲线3：迭代旋转与缩放生成的随机分形
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2019-10-28 05:46
概率统计变换几何作图滑块动画
该范例演示了通过迭代旋转和缩放操作生成的分形曲线，展示了几何变换在分形构造中的核心作用。涉及的核心数学概念包括分形几何、迭代变换、相似性、随机过程以及百分比缩放。作图要点：使用GeoGebra的PolyLine命令绘制初始折线，然后通过Dilate（缩放）和Rotate（旋转）命令对折线进行多次迭代变换，涉及对象包括A、B、C、D、E、F等基础点以及多组迭代生成的点（如A'、G'、H'、B'以及A1至E6等），通过滑块n控制迭代次数。适合高中及以上学段学习分形几何、几何变换与随机实验，也可用于数学可视化教学或探究性学习。

GeoGebra 命令及参数

  1. PolyLine(A, G, H, B) → f
  2. Dilate(A, 0.5, B) → A'
  3. Dilate(G, 0.5, B) → G'
  4. Dilate(H, 0.5, B) → H'
  5. Dilate(B, 0.5, B) → B'
  6. PolyLine(A', G', H', B') → A1
  7. Rotate(Translate[PolyLine[Dilate[A, 0.5 / sqrt(2), A], Dilate[G, 0.5 / sqrt(2), A], Dilate[H, 0.5 / sqrt(2), A], Dilate[B, 0.5 / sqrt(2), A]], (0, 1)], (-π) / 4, D) → B1
  8. Rotate(PolyLine[Translate[A', (-1, 0)], Translate[G', (-1, 0)], Translate[H', (-1, 0)], Translate[B', (-1, 0)]], π / 2, D) → C1
  9. Rotate(Translate[B1, (-1, 1)], (-π) / 2, E) → D1
  10. Rotate(PolyLine[Translate[A', (-2, 0)], Translate[G', (-2, 0)], Translate[H', (-2, 0)], Translate[B', (-2, 0)]], (-π) / 2, F) → E1
  11. Dilate({A1, B1, C1, D1, E1}, 0.5, B) → A2
  12. Rotate(Translate[Dilate[{A1, B1, C1, D1, E1}, 0.5 / sqrt(2), A], (0, 1)], (-π) / 4, D) → B2
  13. Rotate(Translate[A2, (-1, 0)], π / 2, D) → C2
  14. Rotate(Translate[B2, (-1, 1)], (-π) / 2, E) → D2
  15. Rotate(Translate[A2, (-2, 0)], (-π) / 2, F) → E2
  16. Dilate({A2, B2, C2, D2, E2}, 0.500000000000002, B) → A3
  17. Rotate(Translate[Dilate[{A2, B2, C2, D2, E2}, 0.500000000000002 / sqrt(2), A], (0, 1)], (-π) / 4, D) → B3
  18. Rotate(Translate[A3, (-1, 0)], π / 2, D) → C3
  19. Rotate(Translate[B3, (-1, 1)], (-π) / 2, E) → D3
  20. Rotate(Translate[A3, (-2, 0)], (-π) / 2, F) → E3
  21. Dilate({A3, B3, C3, D3, E3}, 0.500000000000004, B) → A4
  22. Rotate(Translate[Dilate[{A3, B3, C3, D3, E3}, 0.500000000000004 / sqrt(2), A], (0, 1)], (-π) / 4, D) → B4
  23. Rotate(Translate[A4, (-1, 0)], π / 2, D) → C4
  24. Rotate(Translate[B4, (-1, 1)], (-π) / 2, E) → D4
  25. Rotate(Translate[A4, (-2, 0)], (-π) / 2, F) → E4
  26. Dilate({A4, B4, C4, D4, E4}, 0.500000000000006, B) → A5
  27. Rotate(Translate[Dilate[{A4, B4, C4, D4, E4}, 0.500000000000006 / sqrt(2), A], (0, 1)], (-π) / 4, D) → B5
  28. Rotate(Translate[A5, (-1, 0)], π / 2, D) → C5
  29. Rotate(Translate[B5, (-1, 1)], (-π) / 2, E) → D5
  30. Rotate(Translate[A5, (-2, 0)], (-π) / 2, F) → E5
  31. Dilate({A5, B5, C5, D5, E5}, 0.500000000000008, B) → A6
  32. Rotate(Translate[Dilate[{A5, B5, C5, D5, E5}, 0.500000000000008 / sqrt(2), A], (0, 1)], (-π) / 4, D) → B6
  33. Rotate(Translate[A6, (-1, 0)], π / 2, D) → C6
  34. Rotate(Translate[B6, (-1, 1)], (-π) / 2, E) → D6
  35. Rotate(Translate[A6, (-2, 0)], (-π) / 2, F) → E6

AI 绘图提示语参考

绘制一个由迭代旋转和缩放生成的分形曲线。先以五个基础点构造一条折线，然后反复对该折线进行两种变换：一种是以某点为缩放中心按0.5比例缩小，另一种是先按0.5除以根号2的比例缩放，再向上平移一个单位，并绕某点逆时针旋转45度。每次迭代生成五个分支，分别对应原始折线的缩放、旋转、平移等组合，并逐步缩小尺寸。通过滑块控制迭代次数，最终形成具有自相似性的随机分形图案，展示几何变换的递归应用。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。